matematisk logikk

[Hans123]

Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven?

[tex]Let c be a constant symbol, let f be unary function symbol, and let R be a binary realtion symbol. Let L be the first-order language (c,f,R). a. Give an L-structure \vartheta such that: i) the universe A contains exactly 2 elements and ii) \vartheta \models (\forall )(R(x,f(x))) b. Give an L-structure \vartheta such that: i) the universe A contains exactly 2 elements and ii) \vartheta ikke \models (\forall )(R(x,f(x))) c. give an L-atructure \vartheta \vdash \forall x\forall y(f(x)=f(y)\rightarrow x=y) Let \Gamma =(\forall x(f(x)\neq c)), \forall x\forall y(f(x)=f(y)\rightarrow x=y) d. Give an L-structure \vartheta such that \vartheta \models \Gamma . e. Prove that any model for \Gamma has an infinite universe.[/tex]

[Brahmagupta]

Du må nesten vise hva du har fått til og hvor du står fast. Hvis du vet hva de forskjellige begrepene
og symbolene står for, så burde flere av disse oppgavene være greie.
For ordens skyld tok jeg med oppgaven på en litt mer oversiktlig form.

Let $c$ be a constant symbol, let $f$ be an unary function symbol, and let $R$ be a binary relation symbol.
Let $L$ be the first-order language $(c,f,R)$.
a) Give an $L$-structure $\vartheta$ such that: i) the universe A contains exactly 2 elements and ii) $\vartheta\models \forall xR(x,f(x))$.
b) Give an $L$-structure $\vartheta$ such that: i) the universe A contains exactly 2 elements and ii) $\vartheta\not\models \forall x(R(x,f(x))$.
c) Give an $L$-structure $\vartheta$ such that $\vartheta \models\forall x\forall y(f(x)=f(y)\rightarrow x=y)$.
Let $\Gamma =(\forall x(f(x)\neq c), \forall x\forall y(f(x)=f(y)\rightarrow x=y)$.
d) Give an $L$-structure $\vartheta$ such that $\vartheta \models \Gamma$ . e. Prove that any model for $\Gamma$ has an infinite universe.

For eksempel i $a)$ trenger du å spesifisere universet $A$, konstantsymbolet $c$ og hvordan $f$ og $R$ virker.
Så la $A=\{0,1\}$, $c^\vartheta=0$, $f^\vartheta(x)=x$ og $R^\vartheta=\{(0,0),(1,1)\}$. Utifra disse definisjonene
følger det at $(0,f^\vartheta(0))=(0,0)\in R^\vartheta$ og tilsvarende $(1,f^\vartheta(1))=(1,1)\in R^\vartheta$
slik at $\vartheta\models \forall xR(x,f(x))$.

[Hans123]

Begynner å gi noe mening. Er det slik at oppgaven b blir sånn:

A=[tex]\left \{ 0,1 \right \}[/tex]

A={0,1}
cϑ=0
fϑ(x)=x og Rϑ={(0,0),(1,1)}
(0,fϑ(0))=(0,0)\notin[/tex]Rϑ
(1,fϑ(1))=(1,1)\notin[/tex]Rϑ
slik at ϑ⊨∀xR(x,f(x)).

?

[Brahmagupta]

Vel, du kan ikke bruke nøyaktig samme struktur som i a), siden i dette tilfellet
skal $\vartheta\not\models R(x,f(x))$. Hvis du derimot omdefinerer relasjonen
litt, så vil det fungere. Eksempelvis kan du sette $R^\vartheta=\emptyset$ eller
$R^\vartheta=\{(0,1),(1,0)\}$.

Merk at det i alle disse oppgavene er mange forskjellige strukturer som fungerer.

[Hans123]

okey, kan du forklare meg litt nærmere denne oppgaven? hvordan skal jeg omdefinere relasjonen?

Jeg skjønner at det finnes mange forskjellige strukturer som man kan løse.