matematikk.net

Hei

Har en oppgave i Calculus 1 jeg trenger litt hjelp med.

Klarte å trykke litt for tidlig gitt...

Men oppgaven jeg trenger hjelp med er en oppgave hvor jeg skal bruke kjente Maclaurin-formler for å finne et Taylorpolynom av 4. orden til [tex](sin(x))^2[/tex] om x=0. I tillegg får vi opplyst at relasjonen [tex](sin(x))^2=1-cos(2x))/(2)[/tex] er nyttig. Vi skal bruke Maclaurinformelen som sier at [tex]cos(x)=1-(x^2)/(2!)+(x^4)/(4!)-...[/tex] også videre.
Det jeg har gjort til nå er å løse den trigonometriske relasjonen for cos(2x), uten at jeg ser hva jeg skal gjøre videre. Noen forslag?

Vi vet at [tex]\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot x^{2n}}{(2n)!}[/tex]

Følgelig blir [tex]\cos(2x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot (2x)^{2n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot 2^{2n} \cdot x^{2n}}{(2n)!}[/tex]

Vi hadde at:

[tex]\sin^2(x)= \frac{1-\cos(2x)}{2}=\frac{1}{2}-\frac{\cos(2x)}{2}[/tex]

Velger å kun betrakte [tex]-\frac{\cos(2x)}{2}=\sum_{n=0}^{\infty}-\frac{1}{2} \cdot \frac{(-1)^n \cdot (2)^{2n} \cdot x^{2n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \cdot 2^{2n-1} \cdot x^{2n}}{(2n)!}[/tex]

Observerer at første ledd er lik -1/2. Dermed kan vi flytte indeksen slik at vi får [tex]\sin^2(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \cdot 2^{2n-1} \cdot x^{2n}}{(2n)!}[/tex]