Integrasjon - like og odde

[ThomasSkas]

La f og g være integrerbare funksjoner på intervallet [-5,5] og la

[tex]I=\int_{-5}^{3}(8f(x)-7g(x))dx+\int_{5}^{3}(7g(x)-8f(x))dx[/tex]

Hva er I hvis f er en like funksjon, g er en odde funksjon og gjennomsnittsverdien til både f og på intervallet
[0,5] er 9?

Ok, jeg ser for meg at jeg må ta i bruke like og odde-egenskapene her, samt at gjennomsnittsverdien til hver av funksjonene er 9 på [0,5].

Jeg vet at for like-funksjoner gjelder [tex]f(-x)=f(x)[/tex], og for odde-funksjoner at [tex]f(-x)=-f(x)[/tex]
Og at gjennomsnittsverdien av en integrerbar funksjon på [a,b] er:

[tex]\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx[/tex]

Takker for assistansen!

[Guest]

Du har vel ikke lyst til å dobbeltsjekke uttrykket ditt for $I$? Integrerer du fra -5 til 3 eller fra 3 til 5?

[ThomasSkas]

Bra observert. Jeg skrev rett fra oppgaveteksten, og den sier faktisk det der, tro det eller ei, hehe.
Så jeg ble virkelig usikker på hva det skal være.....

[Nebuchadnezzar]

Denne har vel vært tatt opp på forumet før? husker det var noen førstisser som lurte på denne maple.ta oppgaven.
Har dere ikke studasser fra 12 til 18 hver dag? Plag dem :p

Vel først kan du bruke at $\int_a^b = -\int_b^a$ på det siste integralet ditt. Deretter kan du prøve
å sette det sammen til et felles integral. Da skal du få noe alla

$ \hspace{1cm}
\text{konstant} \cdot \int_{-5}^5 f(x) + g(x) \,\mathrm{d}x
$

Hvor du får jobben av å bestemme konstanten. Bare å spørre når du har prøvd litt mer =) Merk spesielt at $\int_{-a}^c + \int_{c}^a = \int_ {-a}^a$.

[ThomasSkas]

Denne har vel vært tatt opp på forumet før? husker det var noen førstisser som lurte på denne maple.ta oppgaven.
Har dere ikke studasser fra 12 til 18 hver dag? Plag dem :p

Vel først kan du bruke at $\int_a^b = -\int_b^a$ på det siste integralet ditt. Deretter kan du prøve
å sette det sammen til et felles integral. Da skal du få noe alla

$ \hspace{1cm}
\text{konstant} \cdot \int_{-5}^5 f(x) + g(x) \,\mathrm{d}x
$

Hvor du får jobben av å bestemme konstanten. Bare å spørre når du har prøvd litt mer =) Merk spesielt at $\int_{-a}^c + \int_{c}^a = \int_ {-a}^a$.

Jeg skal prøve meg på denne nå. Ja, hehe, men jeg var allerede hjemme, og satt tidligere igår med gruppearbeid i noen timer, så fikk ikke kruset innom mattelaben.
Er du en av stud.assene?

[Nebuchadnezzar]

Vært studass bla i matte2, og har en syk hukommelse for oppgaver jeg har sett på forumet før. Men som nevnt gi oppgaven et forsøk til.
Etter en har fått den på formen $\text{konstant} \cdot \int_{-a}^{a} $ kan en bruke opplysningene om at $f$ var like og $g$ odde.

[ThomasSkas]

Jeg har puslet sammen sammenhengene, og jeg har tenkt slik:

[tex]I=\int_{-5}^{3}(8f(x)-7g(x))dx+\int_{5}^{3}(7g(x)-8f(x))dx[/tex]

Da skriver jeg om det siste integralet:

[tex]I=\int_{-5}^{3}(8f(x)-7g(x))dx-\int_{3}^{5}(7g(x)-8f(x))dx[/tex]

Nå må dette bety at jeg kan skrive om dette til et integral fra x = -5 til x = 5:

[tex]I=\int_{-5}^{5}(8f(x)-7g(x))dx[/tex]

Nå splitter jeg opp dette integralet i to stk:

[tex]I=\int_{-5}^{5}(8f(x)-7g(x))dx-7\int_{-5}^{5}g(x)dx[/tex]

Jeg har nå et integral av like-funksjonen f(x) og et integral av odde-funksjonen g(x).

Nå ser jeg aller først at [tex]7\int_{-5}^{5}g(x)dx=0[/tex] fordi g(x) er en odde-funksjon. Da står jeg igjen med:

[tex]I=8\int_{-5}^{5}f(x)dx[/tex]

Så vet vi at for en like-funksjon som f(x) har vi sammenhengen:

[tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx[/tex]

Da får jeg:

[tex]I=16\int_{0}^{5}f(x)dx[/tex]

Nå sier dermed oppgaveteksten at gj. verdien til både f og g på [0,5] (intervallet jeg her har nå) er 9. Hvordan tolker jeg dette? Bety det at f har en gj. verdi på 9 og det samme har på dette intervallet? Altså, 9 hver?

Ihvertfall, da tolker jeg dette som at jeg må nå få integralet:

[tex]I=16\int_{0}^{5}9dx[/tex]

[tex]I=16\left [ 9x \right ]_{0}^{5}=16(9\cdot 5-9\cdot 0)=16\cdot 45=720[/tex]


Kommentar, Nebu (Vær så snill).

Tusen takk.

[Guest]

Jeg har puslet sammen sammenhengene, og jeg har tenkt slik:

[tex]I=\int_{-5}^{3}(8f(x)-7g(x))dx+\int_{5}^{3}(7g(x)-8f(x))dx[/tex]

Da skriver jeg om det siste integralet:

[tex]I=\int_{-5}^{3}(8f(x)-7g(x))dx-\int_{3}^{5}(7g(x)-8f(x))dx[/tex]

Nå må dette bety at jeg kan skrive om dette til et integral fra x = -5 til x = 5:

[tex]I=\int_{-5}^{5}(8f(x)-7g(x))dx[/tex]

Nå splitter jeg opp dette integralet i to stk:

[tex]I=\int_{-5}^{5}(8f(x)-7g(x))dx-7\int_{-5}^{5}g(x)dx[/tex]

Jeg har nå et integral av like-funksjonen f(x) og et integral av odde-funksjonen g(x).

Nå ser jeg aller først at [tex]7\int_{-5}^{5}g(x)dx=0[/tex] fordi g(x) er en odde-funksjon. Da står jeg igjen med:

[tex]I=8\int_{-5}^{5}f(x)dx[/tex]

Så vet vi at for en like-funksjon som f(x) har vi sammenhengen:

[tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx[/tex]

Da får jeg:

[tex]I=16\int_{0}^{5}f(x)dx[/tex]

Nå sier dermed oppgaveteksten at gj. verdien til både f og g på [0,5] (intervallet jeg her har nå) er 9. Hvordan tolker jeg dette? Bety det at f har en gj. verdi på 9 og det samme har på dette intervallet? Altså, 9 hver?

Ihvertfall, da tolker jeg dette som at jeg må nå få integralet:

[tex]I=16\int_{0}^{5}9dx[/tex]

[tex]I=16\left [ 9x \right ]_{0}^{5}=16(9\cdot 5-9\cdot 0)=16\cdot 45=720[/tex]


Kommentar, Nebu (Vær så snill).

Tusen takk.

Nå er jo ikke jeg noen nebu da, men for meg ser alt helt riktig ut med ett lite unntak.
[tex]I=\int_{-5}^{5}(8f(x)-7g(x))dx-7\int_{-5}^{5}g(x)dx[/tex]
Skjønner ikke hvordan du får til dette, men jeg regner med at det bare gikk litt fort i svingene og at du egentlig mente
[tex]I=8\int_{-5}^{5}f(x)dx-7\int_{-5}^{5}g(x)dx[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Ser helt riktig ut dette som nevnt over =) Når en sier at en funksjon $f$ har gjennomsnittsverdien $c$ på intervallet $[a,b]$ betyr dette at
$$ \hspace{1cm}
\frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x = c
$$
Så for å finne integralet, er det bare å gange med $b - a$ på begge sider av likningen ovenfor også er du i mål.

[ThomasSkas]

Jeg har puslet sammen sammenhengene, og jeg har tenkt slik:

[tex]I=\int_{-5}^{3}(8f(x)-7g(x))dx+\int_{5}^{3}(7g(x)-8f(x))dx[/tex]

Da skriver jeg om det siste integralet:

[tex]I=\int_{-5}^{3}(8f(x)-7g(x))dx-\int_{3}^{5}(7g(x)-8f(x))dx[/tex]

Nå må dette bety at jeg kan skrive om dette til et integral fra x = -5 til x = 5:

[tex]I=\int_{-5}^{5}(8f(x)-7g(x))dx[/tex]

Nå splitter jeg opp dette integralet i to stk:

[tex]I=\int_{-5}^{5}(8f(x)-7g(x))dx-7\int_{-5}^{5}g(x)dx[/tex]

Jeg har nå et integral av like-funksjonen f(x) og et integral av odde-funksjonen g(x).

Nå ser jeg aller først at [tex]7\int_{-5}^{5}g(x)dx=0[/tex] fordi g(x) er en odde-funksjon. Da står jeg igjen med:

[tex]I=8\int_{-5}^{5}f(x)dx[/tex]

Så vet vi at for en like-funksjon som f(x) har vi sammenhengen:

[tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx[/tex]

Da får jeg:

[tex]I=16\int_{0}^{5}f(x)dx[/tex]

Nå sier dermed oppgaveteksten at gj. verdien til både f og g på [0,5] (intervallet jeg her har nå) er 9. Hvordan tolker jeg dette? Bety det at f har en gj. verdi på 9 og det samme har på dette intervallet? Altså, 9 hver?

Ihvertfall, da tolker jeg dette som at jeg må nå få integralet:

[tex]I=16\int_{0}^{5}9dx[/tex]

[tex]I=16\left [ 9x \right ]_{0}^{5}=16(9\cdot 5-9\cdot 0)=16\cdot 45=720[/tex]


Kommentar, Nebu (Vær så snill).

Tusen takk.

Nå er jo ikke jeg noen nebu da, men for meg ser alt helt riktig ut med ett lite unntak.
[tex]I=\int_{-5}^{5}(8f(x)-7g(x))dx-7\int_{-5}^{5}g(x)dx[/tex]
Skjønner ikke hvordan du får til dette, men jeg regner med at det bare gikk litt fort i svingene og at du egentlig mente
[tex]I=8\int_{-5}^{5}f(x)dx-7\int_{-5}^{5}g(x)dx[/tex]

Hei, og takk for head-ups! Her har du nok rett med at det gikk fort i svingene hehe. Jeg så i kladdeboka mi nå, og jeg hadde ikke skrevet det der, så det lurte seg nok inn da jeg brukte lateksen, og limte inn tidligere integraler for å gjøre det raskere.

Og takk til deg også Nebu for utfyllende kommentarer!