Finne tilnærming vha Taylor Polynom

[hallapaadeg]

Sliter litt med taylorpolynomer, særlig det å finne error/remainder, eller resten som det kanskje er mer passende å kalle det.

Har denne oppgaven:

La $g(x) = (1+5x)^{\frac{1}{5}}$,

1. Vis at taylorpolynomet $P_4(x)$ av grad 4 til $g(x)$ om punktet $x = 0$ er gitt ved

$P_4(x) = 1 + x - 2x^{2} + 6x^{3} - 21x^{4}$

La $E_4(x)$ være restleddet. Vis at $0 \leq E_4(x) \leq 80x^{5}$ når $ x > 0$

Så denne oppgaven er grei. Fant $g^{5}(x) = 9576(1+5x)^{-\frac{24}{5}}$ og brukte formelen

$E_n(x) =\frac{ g^{(n+1)}(s) (x - a)^{(n+1)}}{(n+1)!}$

og fikk $E_4(x) = \frac{g^{5}(s)(x-0)^{5}}{5!} = \frac{9576x^{5}}{5!(1+5s)^{\frac{24}{5}}} = \frac{399x^{5}}{5(1+5s)^{\frac{24}{5}}}$

Så her begynner jeg å slite en del. For nå skal jeg tydeligvis velge $s = 0$ i følge en lærer.. Men jeg skjønner ikke helt hvorfor, annet enn at brøken blir ganske pen da, altså,

$E_4(x) = \frac{399x^{5}}{5} = 79.8x^{5} \Rightarrow 0 \leq E_4(x) \leq 80x^{5}$ for $x > 0$.. (Her trenger jeg altså hjelp til å forstå hvorfor. Jeg skjønner at feilen skal bli så liten som mulig. Men jeg klarer ikke se det ved første øyekast hvorfor den blir minst hvis s = 0)

Også er det oppgave b, der teksten lyder som så:

"Bruk punkt (1) til å beregne en tilnærmet verdi for $\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{5}}$. Finn også en øvre grense for feilen i denne tilnærmingen."

Jeg har ikke kommet så veldig langt her, det jeg har gjort er slik:

$g(x) = \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{5}}$ og funnet at det stemmer når $x = \frac{1}{10}$

Men nå er jeg egentlig stuck. Kan jo legge til at jeg fant

$E_4(\frac{1}{10}) = 399(\frac{1}{10})^{5} = \frac{399}{5*10^{5}}$

Er dette riktig så langt? Er det noen som kan hjelpe meg til neste steg, nemlig å finne en tilnærmet verdi for $\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{5}}$ og en øvre grense for feilen.

[Nebuchadnezzar]

Du har gjort mye rett her, og er ikke langt unna å få helt rett fremgangsmåte.

$g^5(x) = \frac{a}{( 1 + 5x)^{24/5}$

Merk at funksjonen er synkende, med andre ord så er $|g(x)| \leq |g(0)|$. Dette er grunnen til at vi velger $s=0$.

https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem

Studer figuren her. Merk deg at $P_x$ er en tilnærming til funksjonen. Med andre ord dersom vi har høy nok orden
og velger et punkt innenfor konvergensradien, så vil $P(x) \approx f(x)$. Dette er jo selve essensen av hvorfor vi driver å rekkeutvikler.

Med andre ord så er $P_4(1/10) \approx g(1/10) = (3/2)^{1/5}$

For å finne feilen så vet du at $E_4(x) \leq 80 x^5$ så herfra er det bare å sette inn $x = 1/10$ så er du ferdig. Dette vil da være en øvre skranke for feilen.