Finne tilnærming vha Taylor Polynom
Posted: 21/10-2015 15:54
Sliter litt med taylorpolynomer, særlig det å finne error/remainder, eller resten som det kanskje er mer passende å kalle det.
Har denne oppgaven:
La $g(x) = (1+5x)^{\frac{1}{5}}$,
1. Vis at taylorpolynomet $P_4(x)$ av grad 4 til $g(x)$ om punktet $x = 0$ er gitt ved
$P_4(x) = 1 + x - 2x^{2} + 6x^{3} - 21x^{4}$
La $E_4(x)$ være restleddet. Vis at $0 \leq E_4(x) \leq 80x^{5}$ når $ x > 0$
Så denne oppgaven er grei. Fant $g^{5}(x) = 9576(1+5x)^{-\frac{24}{5}}$ og brukte formelen
$E_n(x) =\frac{ g^{(n+1)}(s) (x - a)^{(n+1)}}{(n+1)!}$
og fikk $E_4(x) = \frac{g^{5}(s)(x-0)^{5}}{5!} = \frac{9576x^{5}}{5!(1+5s)^{\frac{24}{5}}} = \frac{399x^{5}}{5(1+5s)^{\frac{24}{5}}}$
Så her begynner jeg å slite en del. For nå skal jeg tydeligvis velge $s = 0$ i følge en lærer.. Men jeg skjønner ikke helt hvorfor, annet enn at brøken blir ganske pen da, altså,
$E_4(x) = \frac{399x^{5}}{5} = 79.8x^{5} \Rightarrow 0 \leq E_4(x) \leq 80x^{5}$ for $x > 0$.. (Her trenger jeg altså hjelp til å forstå hvorfor. Jeg skjønner at feilen skal bli så liten som mulig. Men jeg klarer ikke se det ved første øyekast hvorfor den blir minst hvis s = 0)
Også er det oppgave b, der teksten lyder som så:
"Bruk punkt (1) til å beregne en tilnærmet verdi for $\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{5}}$. Finn også en øvre grense for feilen i denne tilnærmingen."
Jeg har ikke kommet så veldig langt her, det jeg har gjort er slik:
$g(x) = \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{5}}$ og funnet at det stemmer når $x = \frac{1}{10}$
Men nå er jeg egentlig stuck. Kan jo legge til at jeg fant
$E_4(\frac{1}{10}) = 399(\frac{1}{10})^{5} = \frac{399}{5*10^{5}}$
Er dette riktig så langt? Er det noen som kan hjelpe meg til neste steg, nemlig å finne en tilnærmet verdi for $\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{5}}$ og en øvre grense for feilen.
Har denne oppgaven:
La $g(x) = (1+5x)^{\frac{1}{5}}$,
1. Vis at taylorpolynomet $P_4(x)$ av grad 4 til $g(x)$ om punktet $x = 0$ er gitt ved
$P_4(x) = 1 + x - 2x^{2} + 6x^{3} - 21x^{4}$
La $E_4(x)$ være restleddet. Vis at $0 \leq E_4(x) \leq 80x^{5}$ når $ x > 0$
Så denne oppgaven er grei. Fant $g^{5}(x) = 9576(1+5x)^{-\frac{24}{5}}$ og brukte formelen
$E_n(x) =\frac{ g^{(n+1)}(s) (x - a)^{(n+1)}}{(n+1)!}$
og fikk $E_4(x) = \frac{g^{5}(s)(x-0)^{5}}{5!} = \frac{9576x^{5}}{5!(1+5s)^{\frac{24}{5}}} = \frac{399x^{5}}{5(1+5s)^{\frac{24}{5}}}$
Så her begynner jeg å slite en del. For nå skal jeg tydeligvis velge $s = 0$ i følge en lærer.. Men jeg skjønner ikke helt hvorfor, annet enn at brøken blir ganske pen da, altså,
$E_4(x) = \frac{399x^{5}}{5} = 79.8x^{5} \Rightarrow 0 \leq E_4(x) \leq 80x^{5}$ for $x > 0$.. (Her trenger jeg altså hjelp til å forstå hvorfor. Jeg skjønner at feilen skal bli så liten som mulig. Men jeg klarer ikke se det ved første øyekast hvorfor den blir minst hvis s = 0)
Også er det oppgave b, der teksten lyder som så:
"Bruk punkt (1) til å beregne en tilnærmet verdi for $\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{5}}$. Finn også en øvre grense for feilen i denne tilnærmingen."
Jeg har ikke kommet så veldig langt her, det jeg har gjort er slik:
$g(x) = \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{5}}$ og funnet at det stemmer når $x = \frac{1}{10}$
Men nå er jeg egentlig stuck. Kan jo legge til at jeg fant
$E_4(\frac{1}{10}) = 399(\frac{1}{10})^{5} = \frac{399}{5*10^{5}}$
Er dette riktig så langt? Er det noen som kan hjelpe meg til neste steg, nemlig å finne en tilnærmet verdi for $\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{5}}$ og en øvre grense for feilen.