Differensial funksjon

[Kjemikern]

Anta at [tex]f(x)[/tex]er en uendelig differensial funksjon i [tex](0,1)[/tex] og kontinuerlig i [tex][0,1][/tex], og tilfredsstiller [tex]f(0)=f(1)=0.[/tex] Bevis da at det er en [tex]x[/tex] i [tex](0,1)[/tex] slik at [tex]f(x)=f'(x)[/tex]

Har tenkt slikt:
[tex]f(x)[/tex] har en absolutt positivt maksimum på [tex](0,1)[/tex] eller et absolutt minimum negativ på [tex](0,1)[/tex] eller [tex]f (x) = 0[/tex] for alle x.
Videre har jeg stoppet opp
Har jeg tenkt riktig eller er jeg på bærtur?

Et lite hint hadde vært strålende.

Takk på forhånd!

[Aleks855]

Hva menes med "uendelig differensial" funksjon?

[Kjemikern]

Hva menes med "uendelig differensial" funksjon?

Professoren har også skrevet oppgaven på engelsk; "Suppose f(x) is an infinitely differentiable function on (0,1) and continuous on [0,1] and satisfies f(0) = f(1) = 0. Prove there is an x in (0,1) such that f(x) = f′(x)."

[Nebuchadnezzar]

Regner med han mener $f \in C^\infty([0,1])$ altså at $f$ er glatt, eller med andre ord en funksjonen er uendelig mange ganger deriverbar.

[Aleks855]

Hva menes med "uendelig differensial" funksjon?

Professoren har også skrevet oppgaven på engelsk; "Suppose f(x) is an infinitely differentiable function on (0,1) and continuous on [0,1] and satisfies f(0) = f(1) = 0. Prove there is an x in (0,1) such that f(x) = f′(x)."

Ah, skjønner. "Differentiable" betyr deriverbar. "Infinitely differentiable" betyr da at den kan deriveres uendelig mange ganger.

[Kjemikern]

Ja, da gir det mer mening;


Videre kan jeg anta at [tex]f(x)[/tex] har et absolutt positiv verdi i [tex](0,1)[/tex].
La oss si at [tex]f(x)[/tex] oppnår sitt maksimum ved [tex]c_{1}\in (0,1)[/tex]. Da er [tex]f'(c_{1})=0[/tex] og [tex]f(c_{1})>0\Rightarrow f(c_{1})-f'(c_{1})\geq 0.[/tex] Ved middelverdi teoremet har vi at det finnes et punkt [tex]c_{2}\in (0,c_{1})[/tex] slik at;

[tex]\frac{f(c_{1})-f(0)}{c_{1}}=f'(c_{2}).[/tex]

Ettersom [tex]c_{1}<1,f(0)=0[/tex] har vi at [tex]f'(c_{2})>f(c_{1}).[/tex] I tillegg til at [tex]f(c_{1})\geq f(c_{2}).[/tex] Dette betyr vel at;
[tex]f(x)-f'(x)[/tex] er kontinuerlig, altså [tex]\exists \, x\in [c_{2},c_{1}][/tex]
Slik at [tex]f(x)-f'(x)=0[/tex]


Vil dere si at dette holder?

[Gustav]

Hint: La $g(x)=(\alpha+1)f(x)-xf(x)$ der $\alpha$ er en foreløpig ubestemt konstant i $(0,1)$.

Hint 2: mean value theorem

EDIT: ser det gikk litt fort i svingene her. Det jeg skrev er feil

[Kjemikern]

Hint: La $g(x)=(\alpha+1)f(x)-xf(x)$ der $\alpha$ er en foreløpig ubestemt konstant i $(0,1)$.

Hint 2: mean value theorem

Tusen takk for svar.
Jeg har prøvd en annen metode;

Setter [tex]g(x)=f(x)e^{-x}[/tex], fordi [tex]g(x)[/tex] er uendelig deriverbar i [tex](0,1)[/tex] og kontinuerlig i [0,1], vi kan bruke mean value theorem;

[tex]\exists x_{0}\in (0,1)[/tex] [tex]\left ( f(x)e^{-x} \right )|_{x=x_{0}}[/tex][tex]=\frac{f(1)e^{-1}-f(0)e^0}{1-0}=\frac{0-0}{1}=0[/tex]

[tex]\Rightarrow f'(x_{0})e^{-x_{0}}-e^{-x_{0}}f(x_{0})=0[/tex]
[tex]\Rightarrow f'(x_{0})=f(x_{0})[/tex]

Dermed [tex]\exists x_{0}\in (0,1)[/tex] [tex]f'(x_{0})=f(x_{0})[/tex]

[Kjemikern]

Hint: La $g(x)=(\alpha+1)f(x)-xf(x)$ der $\alpha$ er en foreløpig ubestemt konstant i $(0,1)$.

Hint 2: mean value theorem

EDIT: ser det gikk litt fort i svingene her. Det jeg skrev er feil

Vil du si at det siste argumentet mitt holder?

[Gustav]

Vil du si at det siste argumentet mitt holder?

Jepp! Ser bra ut!