Anta at [tex]f(x)[/tex]er en uendelig differensial funksjon i [tex](0,1)[/tex] og kontinuerlig i [tex][0,1][/tex], og tilfredsstiller [tex]f(0)=f(1)=0.[/tex] Bevis da at det er en [tex]x[/tex] i [tex](0,1)[/tex] slik at [tex]f(x)=f'(x)[/tex]
Har tenkt slikt:
[tex]f(x)[/tex] har en absolutt positivt maksimum på [tex](0,1)[/tex] eller et absolutt minimum negativ på [tex](0,1)[/tex] eller [tex]f (x) = 0[/tex] for alle x.
Videre har jeg stoppet opp
Har jeg tenkt riktig eller er jeg på bærtur?
Et lite hint hadde vært strålende.
Takk på forhånd!
Differensial funksjon
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Professoren har også skrevet oppgaven på engelsk; "Suppose f(x) is an infinitely differentiable function on (0,1) and continuous on [0,1] and satisfies f(0) = f(1) = 0. Prove there is an x in (0,1) such that f(x) = f′(x)."Aleks855 wrote:Hva menes med "uendelig differensial" funksjon?
-
- Fibonacci
- Posts: 5648
- Joined: 24/05-2009 14:16
- Location: NTNU
Regner med han mener $f \in C^\infty([0,1])$ altså at $f$ er glatt, eller med andre ord en funksjonen er uendelig mange ganger deriverbar.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Ah, skjønner. "Differentiable" betyr deriverbar. "Infinitely differentiable" betyr da at den kan deriveres uendelig mange ganger.Kjemikern wrote:Professoren har også skrevet oppgaven på engelsk; "Suppose f(x) is an infinitely differentiable function on (0,1) and continuous on [0,1] and satisfies f(0) = f(1) = 0. Prove there is an x in (0,1) such that f(x) = f′(x)."Aleks855 wrote:Hva menes med "uendelig differensial" funksjon?
Ja, da gir det mer mening;
Videre kan jeg anta at [tex]f(x)[/tex] har et absolutt positiv verdi i [tex](0,1)[/tex].
La oss si at [tex]f(x)[/tex] oppnår sitt maksimum ved [tex]c_{1}\in (0,1)[/tex]. Da er [tex]f'(c_{1})=0[/tex] og [tex]f(c_{1})>0\Rightarrow f(c_{1})-f'(c_{1})\geq 0.[/tex] Ved middelverdi teoremet har vi at det finnes et punkt [tex]c_{2}\in (0,c_{1})[/tex] slik at;
[tex]\frac{f(c_{1})-f(0)}{c_{1}}=f'(c_{2}).[/tex]
Ettersom [tex]c_{1}<1,f(0)=0[/tex] har vi at [tex]f'(c_{2})>f(c_{1}).[/tex] I tillegg til at [tex]f(c_{1})\geq f(c_{2}).[/tex] Dette betyr vel at;
[tex]f(x)-f'(x)[/tex] er kontinuerlig, altså [tex]\exists \, x\in [c_{2},c_{1}][/tex]
Slik at [tex]f(x)-f'(x)=0[/tex]
Vil dere si at dette holder?
Videre kan jeg anta at [tex]f(x)[/tex] har et absolutt positiv verdi i [tex](0,1)[/tex].
La oss si at [tex]f(x)[/tex] oppnår sitt maksimum ved [tex]c_{1}\in (0,1)[/tex]. Da er [tex]f'(c_{1})=0[/tex] og [tex]f(c_{1})>0\Rightarrow f(c_{1})-f'(c_{1})\geq 0.[/tex] Ved middelverdi teoremet har vi at det finnes et punkt [tex]c_{2}\in (0,c_{1})[/tex] slik at;
[tex]\frac{f(c_{1})-f(0)}{c_{1}}=f'(c_{2}).[/tex]
Ettersom [tex]c_{1}<1,f(0)=0[/tex] har vi at [tex]f'(c_{2})>f(c_{1}).[/tex] I tillegg til at [tex]f(c_{1})\geq f(c_{2}).[/tex] Dette betyr vel at;
[tex]f(x)-f'(x)[/tex] er kontinuerlig, altså [tex]\exists \, x\in [c_{2},c_{1}][/tex]
Slik at [tex]f(x)-f'(x)=0[/tex]
Vil dere si at dette holder?
plutarco wrote:Hint: La $g(x)=(\alpha+1)f(x)-xf(x)$ der $\alpha$ er en foreløpig ubestemt konstant i $(0,1)$.
Hint 2: mean value theorem
Tusen takk for svar.
Jeg har prøvd en annen metode;
Setter [tex]g(x)=f(x)e^{-x}[/tex], fordi [tex]g(x)[/tex] er uendelig deriverbar i [tex](0,1)[/tex] og kontinuerlig i [0,1], vi kan bruke mean value theorem;
[tex]\exists x_{0}\in (0,1)[/tex] [tex]\left ( f(x)e^{-x} \right )|_{x=x_{0}}[/tex][tex]=\frac{f(1)e^{-1}-f(0)e^0}{1-0}=\frac{0-0}{1}=0[/tex]
[tex]\Rightarrow f'(x_{0})e^{-x_{0}}-e^{-x_{0}}f(x_{0})=0[/tex]
[tex]\Rightarrow f'(x_{0})=f(x_{0})[/tex]
Dermed [tex]\exists x_{0}\in (0,1)[/tex] [tex]f'(x_{0})=f(x_{0})[/tex]
Vil du si at det siste argumentet mitt holder?plutarco wrote:Hint: La $g(x)=(\alpha+1)f(x)-xf(x)$ der $\alpha$ er en foreløpig ubestemt konstant i $(0,1)$.
Hint 2: mean value theorem
EDIT: ser det gikk litt fort i svingene her. Det jeg skrev er feil