matematikk.net

Anta at [tex]f(x)[/tex]er en uendelig differensial funksjon i [tex](0,1)[/tex] og kontinuerlig i [tex][0,1][/tex], og tilfredsstiller [tex]f(0)=f(1)=0.[/tex] Bevis da at det er en [tex]x[/tex] i [tex](0,1)[/tex] slik at [tex]f(x)=f'(x)[/tex]

Har tenkt slikt:
[tex]f(x)[/tex] har en absolutt positivt maksimum på [tex](0,1)[/tex] eller et absolutt minimum negativ på [tex](0,1)[/tex] eller [tex]f (x) = 0[/tex] for alle x.
Videre har jeg stoppet opp
Har jeg tenkt riktig eller er jeg på bærtur?

Et lite hint hadde vært strålende.

Takk på forhånd!

Hva menes med "uendelig differensial" funksjon?

Aleks855 wrote:Hva menes med "uendelig differensial" funksjon?

Professoren har også skrevet oppgaven på engelsk; "Suppose f(x) is an infinitely differentiable function on (0,1) and continuous on [0,1] and satisfies f(0) = f(1) = 0. Prove there is an x in (0,1) such that f(x) = f′(x)."

Regner med han mener $f \in C^\infty([0,1])$ altså at $f$ er glatt, eller med andre ord en funksjonen er uendelig mange ganger deriverbar.

Kjemikern wrote:

Aleks855 wrote:Hva menes med "uendelig differensial" funksjon?

Professoren har også skrevet oppgaven på engelsk; "Suppose f(x) is an infinitely differentiable function on (0,1) and continuous on [0,1] and satisfies f(0) = f(1) = 0. Prove there is an x in (0,1) such that f(x) = f′(x)."

Ah, skjønner. "Differentiable" betyr deriverbar. "Infinitely differentiable" betyr da at den kan deriveres uendelig mange ganger.

Ja, da gir det mer mening;


Videre kan jeg anta at [tex]f(x)[/tex] har et absolutt positiv verdi i [tex](0,1)[/tex].
La oss si at [tex]f(x)[/tex] oppnår sitt maksimum ved [tex]c_{1}\in (0,1)[/tex]. Da er [tex]f'(c_{1})=0[/tex] og [tex]f(c_{1})>0\Rightarrow f(c_{1})-f'(c_{1})\geq 0.[/tex] Ved middelverdi teoremet har vi at det finnes et punkt [tex]c_{2}\in (0,c_{1})[/tex] slik at;

[tex]\frac{f(c_{1})-f(0)}{c_{1}}=f'(c_{2}).[/tex]

Ettersom [tex]c_{1}<1,f(0)=0[/tex] har vi at [tex]f'(c_{2})>f(c_{1}).[/tex] I tillegg til at [tex]f(c_{1})\geq f(c_{2}).[/tex] Dette betyr vel at;
[tex]f(x)-f'(x)[/tex] er kontinuerlig, altså [tex]\exists \, x\in [c_{2},c_{1}][/tex]
Slik at [tex]f(x)-f'(x)=0[/tex]


Vil dere si at dette holder?

Hint: La $g(x)=(\alpha+1)f(x)-xf(x)$ der $\alpha$ er en foreløpig ubestemt konstant i $(0,1)$.

Hint 2: mean value theorem

EDIT: ser det gikk litt fort i svingene her. Det jeg skrev er feil

plutarco wrote:Hint: La $g(x)=(\alpha+1)f(x)-xf(x)$ der $\alpha$ er en foreløpig ubestemt konstant i $(0,1)$.

Hint 2: mean value theorem

Tusen takk for svar.
Jeg har prøvd en annen metode;

Setter [tex]g(x)=f(x)e^{-x}[/tex], fordi [tex]g(x)[/tex] er uendelig deriverbar i [tex](0,1)[/tex] og kontinuerlig i [0,1], vi kan bruke mean value theorem;

[tex]\exists x_{0}\in (0,1)[/tex] [tex]\left ( f(x)e^{-x} \right )|_{x=x_{0}}[/tex][tex]=\frac{f(1)e^{-1}-f(0)e^0}{1-0}=\frac{0-0}{1}=0[/tex]

[tex]\Rightarrow f'(x_{0})e^{-x_{0}}-e^{-x_{0}}f(x_{0})=0[/tex]
[tex]\Rightarrow f'(x_{0})=f(x_{0})[/tex]

Dermed [tex]\exists x_{0}\in (0,1)[/tex] [tex]f'(x_{0})=f(x_{0})[/tex]

plutarco wrote:Hint: La $g(x)=(\alpha+1)f(x)-xf(x)$ der $\alpha$ er en foreløpig ubestemt konstant i $(0,1)$.

Hint 2: mean value theorem

EDIT: ser det gikk litt fort i svingene her. Det jeg skrev er feil

Vil du si at det siste argumentet mitt holder?

Kjemikern wrote:
Vil du si at det siste argumentet mitt holder?

Jepp! Ser bra ut!