Integral

[Stringselings]

Dette er kanskje et integral som er noe over vgs nivå, men uansett så vil jeg gjerne ha en pekepinne mot løsningen.
[tex]\int \frac {x^5-x+1}{x^3+1}dx[/tex]
En omskrevning jeg har prøvd:
[tex]\frac {x^5-x+1}{x^3+1}=\frac {x(x+1)(x-1)(x^2+1)+1}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac {x(x-1)(x^2+1)}{x^2-x+1}+\frac {1}{x^3+1}[/tex]
Er jeg på rettspor ? jeg kan integrere [tex]\frac {1}{x^3+1}[/tex] men jeg ser ingen måte å integrere den andre delen.. Finnes det en lettere fremgangsmåte ?

[tex]\frac {x(x-1)(x^2+1)}{x^2-x+1}=x(x-1)-\frac {x^2(x+1)}{x^2-x+1}[/tex]
Etter å ha prøvd på disse rare omskrivningene sitter jeg litt fast..

[Dolandyret]

Dette er kanskje et integral som er noe over vgs nivå, men uansett så vil jeg gjerne ha en pekepinne mot løsningen.
[tex]\int \frac {x^5-x+1}{x^3+1}dx[/tex]
En omskrevning jeg har prøvd:
[tex]\frac {x^5-x+1}{x^3+1}=\frac {x(x+1)(x-1)(x^2+1)+1}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac {x(x-1)(x^2+1)}{x^2-x+1}+\frac {1}{x^3+1}[/tex]
Er jeg på rettspor ? jeg kan integrere [tex]\frac {1}{x^3+1}[/tex] men jeg ser ingen måte å integrere den andre delen.. Finnes det en lettere fremgangsmåte ?

[tex]\frac {x(x-1)(x^2+1)}{x^2-x+1}=x(x-1)-\frac {x^2(x+1)}{x^2-x+1}[/tex]
Etter å ha prøvd på disse rare omskrivningene sitter jeg litt fast..

[tex]\int \frac{x^5-x+1}{x^3+1}dx=\int \frac{x^5}{x^3+1}dx-\int \frac{x}{x^3+1}dx+\int \frac{1}{x^3+1}dx[/tex]

[Stringselings]

Ahh.. Da skal det nok gå.
Takk

[Nebuchadnezzar]

Hvorfor gjør du den (unnskyld språkbruken) elendige omskrivningen? Å løse slike integraler har en standard fremgangsmåte

1: Bruk polynomdivisjon til teller er lavere enn nevner

2: Bruk delbrøksoppspalting om mulig på det gjennværende integralet

Om ikke 2) funker kan en bruke trigonometriske substitusjoner og omskrvinger. Merk at alle polynomer kan faktorises i første og andregradsfaktorer, så å værste tilfellet må en integrere en sum av uttrykk på formen $1/(ax^2 + bx + c)$

Bruker en dette får en

$\hspace{1cm}
\frac{x^5 - x + 1}{x^3 + 1} = x^2 - \frac{x^2+x-1}{x^3+1} = x^2 - \frac{2}{3} \frac{2x-1}{x^2-x+1}+\frac{1}{3} \frac{1}{x+1}
$

Hvor du selv får arbeide med overgangene. Hvordan skjer polynomdivisjonen, hvordan gikk delbrøksoppspaltingen opp? Hvorfor er disse brøkene trivielle å integrere? Merk som nevt at $1/(1+x^3)$ ikke er enkel å integrere, men krever en del kjedelig regning. Dersom en har penere grenser kan en dog bruke en del skitne ninja-triks.