Hei,
Kjapt spørsmål. Er det slik at dersom determinanten til en gitt matrise, eksempelvis A, ikke er null så vil den eksistere en entydig løsning til ligningssystemet? Og dersom determinanten er null, så eksisterer det ingen entydig løsning?
Matriser
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Si at vi skal løse likningssystemet $A\vec{x}=b$, der $A$ er en $2\times 2$- matrise, $b$ en $2\times 1$- matrise og $\vec{x}=\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$. (Alle matriser er reelle)
Dersom $\det(A)\neq 0$, har systemet en entydig løsning (siden $A$ da er invertibel er $x=A^{-1}b$)
Dersom $\det(A)=0$ er det to muligheter: enten har systemet uendelig mange løsninger, eller så fins det ingen løsninger.
Eksempler på det siste:
(ingen løsning) La $A=\begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1\end{pmatrix}$, $b=\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}$. Dette systemet har selvsagt ingen løsning.
(uendelig mange løsninger) La $A=\begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1\end{pmatrix}$, $b=\begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}$. For hver verdi av $x$ fins det én verdi av $y$ som løser systemet. Altså uendelig mange løsninger siden vi kan velge verdien av $x$ på uendelig mange måter.
Dersom $\det(A)\neq 0$, har systemet en entydig løsning (siden $A$ da er invertibel er $x=A^{-1}b$)
Dersom $\det(A)=0$ er det to muligheter: enten har systemet uendelig mange løsninger, eller så fins det ingen løsninger.
Eksempler på det siste:
(ingen løsning) La $A=\begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1\end{pmatrix}$, $b=\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}$. Dette systemet har selvsagt ingen løsning.
(uendelig mange løsninger) La $A=\begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1\end{pmatrix}$, $b=\begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}$. For hver verdi av $x$ fins det én verdi av $y$ som løser systemet. Altså uendelig mange løsninger siden vi kan velge verdien av $x$ på uendelig mange måter.