Sitter å løser eksamenssett i Kalkulus 1, og sliter veldig med én oppgave. Fasit er vedlagt.
Oppgave
Fasit
Hva slags regler og argumentasjon er det som er brukt på de forskjellige stedene?
Finn (med begrunnelse) bunnpunktet til funksjonen(Kalkulus1)
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Tomtforkaffe
- Fibonacci
- Posts: 3
- Joined: 03/12-2015 18:17
Hei,
Sitter å løser eksamenssett i Kalkulus 1, og sliter veldig med én oppgave. Fasit er vedlagt.
Oppgave
Fasit
Hva slags regler og argumentasjon er det som er brukt på de forskjellige stedene?
Sitter å løser eksamenssett i Kalkulus 1, og sliter veldig med én oppgave. Fasit er vedlagt.
Oppgave
Fasit
Hva slags regler og argumentasjon er det som er brukt på de forskjellige stedene?
-
Guest
Mange av disse stegne er nokså rett fram om du bruker litt tid på det.
Hvis $f(x)=\sum_{i=1}^n(a_i-x)^2 = (a_1 - x)^2 + (a_2 - x)^2 + ... + (a_n - x)^n$
Deriverer du dette ledd for ledd får du følgende
$f'(x)=2(a_1-x) \cdot (-1) + 2(a_2-x) \cdot (-1) + ... + 2(a_n-x) \cdot (-1) = \sum_{i=1}^n 2(x-a_i)$
Hvor $-1$ er den deriverte av kjernen
Denne summen kan skrives på en annen måte
$\sum_{i=1}^n 2(x-a_i) = 2(x-a_1) + 2(x-a_2) + ... + 2(x-a_n) = 2x - 2a_1 + 2x - 2a_2 + ... + 2x - 2a_n$
Her har vi altså $2x$ for hvert eneste ledd i summen. Ettersom vi har n ledd vil vi dermed få $n \cdot 2x$. Vi ser også at to tallet er med hele veien og ganger vi hele summen av noe med $2$ er det det samme som å gange hvert ledd med $2$ og addere leddene sammen, derfor setter vi $2$ og $2nx$ utenfor summetegnet.
$2x - 2a_1 + 2x - 2a_2 + ... + 2x - 2a_n = 2nx - 2a_1 - 2a_2 - ... - 2a_n = 2nx - 2(a_1 + a_2 +...+a_n) = 2nx - 2 \sum_{i=1}^n a_i$
Deriverer vi alle leddene en gang til (som vi gjorde tidligere) har vi at
$2nx - 2 \sum_{i=1}^n a_i = 2nx - 2(a_1 + a_2 + ... + a_n) = 2n$
fordi $a_i$ tross alt bare er en konstant når vi deriverer med hensyn på x forsvinner hele summen.
Grunnen til at vi sjekker den andrederiverte er for å finne ut om det er snakk om et bunnpunkt eller toppunkt. Når den andrederiverte er positv "smiler" grafen (kurver oppover) og dermed må grafen ha et bunnpunkt der den deriverte er $0$.
Vi vet at $2n$ er positivt fordi $n\in \mathbb{N}$ som vil si at $n=1, 2, 3... n$ er positive tall og dermed må produktet av $2$ og $n$ være posivt også. Vi vet at $n$ går fra $1$ til $n$ fordi summen vår går fra $1$ til $n$.
Nå mangler vi bare å løse likningen vår for $f'(x)=0$
$0 = 2nx - 2\sum_{i=1}^n a_i$
$\cancel{2}nx = \cancel{2}\sum_{i=1}^n a_i$
$nx = \sum_{i=1}^n a_i$
$x = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{n}$
Vet ikke hvor mye dette hjelper deg, men du får si ifra hvis det fortsatt er uklart.
Hvis $f(x)=\sum_{i=1}^n(a_i-x)^2 = (a_1 - x)^2 + (a_2 - x)^2 + ... + (a_n - x)^n$
Deriverer du dette ledd for ledd får du følgende
$f'(x)=2(a_1-x) \cdot (-1) + 2(a_2-x) \cdot (-1) + ... + 2(a_n-x) \cdot (-1) = \sum_{i=1}^n 2(x-a_i)$
Hvor $-1$ er den deriverte av kjernen
Denne summen kan skrives på en annen måte
$\sum_{i=1}^n 2(x-a_i) = 2(x-a_1) + 2(x-a_2) + ... + 2(x-a_n) = 2x - 2a_1 + 2x - 2a_2 + ... + 2x - 2a_n$
Her har vi altså $2x$ for hvert eneste ledd i summen. Ettersom vi har n ledd vil vi dermed få $n \cdot 2x$. Vi ser også at to tallet er med hele veien og ganger vi hele summen av noe med $2$ er det det samme som å gange hvert ledd med $2$ og addere leddene sammen, derfor setter vi $2$ og $2nx$ utenfor summetegnet.
$2x - 2a_1 + 2x - 2a_2 + ... + 2x - 2a_n = 2nx - 2a_1 - 2a_2 - ... - 2a_n = 2nx - 2(a_1 + a_2 +...+a_n) = 2nx - 2 \sum_{i=1}^n a_i$
Deriverer vi alle leddene en gang til (som vi gjorde tidligere) har vi at
$2nx - 2 \sum_{i=1}^n a_i = 2nx - 2(a_1 + a_2 + ... + a_n) = 2n$
fordi $a_i$ tross alt bare er en konstant når vi deriverer med hensyn på x forsvinner hele summen.
Grunnen til at vi sjekker den andrederiverte er for å finne ut om det er snakk om et bunnpunkt eller toppunkt. Når den andrederiverte er positv "smiler" grafen (kurver oppover) og dermed må grafen ha et bunnpunkt der den deriverte er $0$.
Vi vet at $2n$ er positivt fordi $n\in \mathbb{N}$ som vil si at $n=1, 2, 3... n$ er positive tall og dermed må produktet av $2$ og $n$ være posivt også. Vi vet at $n$ går fra $1$ til $n$ fordi summen vår går fra $1$ til $n$.
Nå mangler vi bare å løse likningen vår for $f'(x)=0$
$0 = 2nx - 2\sum_{i=1}^n a_i$
$\cancel{2}nx = \cancel{2}\sum_{i=1}^n a_i$
$nx = \sum_{i=1}^n a_i$
$x = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{n}$
Vet ikke hvor mye dette hjelper deg, men du får si ifra hvis det fortsatt er uklart.
-
Tomtforkaffe
- Fibonacci
- Posts: 3
- Joined: 03/12-2015 18:17
$f'(x)=2(a_1-x) \cdot (-1) + 2(a_2-x) \cdot (-1) + ... + 2(a_n-x) \cdot (-1) = \sum_{i=1}^n 2(x-a_i)$
Er det slik at man bare kan se bort ifra $-1$ når man skriver om summen?
Er det slik at man bare kan se bort ifra $-1$ når man skriver om summen?
-
Guest
Ikke helt sikker på hva du mener, men man ser ikke bort fra minuset, man ganger den inn. Legg merke til at a og x bytter plass inne i parentes i overgangen, altså endrer de fortegn.Tomtforkaffe wrote:$f'(x)=2(a_1-x) \cdot (-1) + 2(a_2-x) \cdot (-1) + ... + 2(a_n-x) \cdot (-1) = \sum_{i=1}^n 2(x-a_i)$
Er det slik at man bare kan se bort ifra $-1$ når man skriver om summen?
-
Tomtforkaffe
- Fibonacci
- Posts: 3
- Joined: 03/12-2015 18:17
Ahh, selvfølgelig! Fikk ikke med meg det byttet, takk for hjelpen 