Vinkel mellom to plan

[stimorolextra]

Et plan a har ligningen 3x+2y-2z+1=0. Finn vinkelen mellom a og xy-planet.
Jeg vet i utgangspunktet hvordan jeg gjør dette, problemet er bare at jeg ikke har likningen for xy-planet. Regner med at z er 0 siden det er et xy-plan, men noe mer vet jeg ikke? Hvordan skal jeg finne ligningen?

[Janhaa]

Et plan a har ligningen 3x+2y-2z+1=0. Finn vinkelen mellom a og xy-planet.
Jeg vet i utgangspunktet hvordan jeg gjør dette, problemet er bare at jeg ikke har likningen for xy-planet. Regner med at z er 0 siden det er et xy-plan, men noe mer vet jeg ikke? Hvordan skal jeg finne ligningen?

xy-planet har normalvektor,

[tex]\vec n_{xy} = [0, 0, 1][/tex]

[stimorolextra]

Et plan a har ligningen 3x+2y-2z+1=0. Finn vinkelen mellom a og xy-planet.
Jeg vet i utgangspunktet hvordan jeg gjør dette, problemet er bare at jeg ikke har likningen for xy-planet. Regner med at z er 0 siden det er et xy-plan, men noe mer vet jeg ikke? Hvordan skal jeg finne ligningen?

xy-planet har normalvektor,

[tex]\vec n_{xy} = [0, 0, 1][/tex]

Takk for svar, men jeg klarer ikke å se hvorfor det blir sånn! Altså siden den ligger i xy-planet, så vil vel x og y være 0. Men hvorfor må z være en? Det er det jeg ikke klarer å skjønne. Hvordan kom du frem til det?

[Dolandyret]

Et plan a har ligningen 3x+2y-2z+1=0. Finn vinkelen mellom a og xy-planet.
Jeg vet i utgangspunktet hvordan jeg gjør dette, problemet er bare at jeg ikke har likningen for xy-planet. Regner med at z er 0 siden det er et xy-plan, men noe mer vet jeg ikke? Hvordan skal jeg finne ligningen?

xy-planet har normalvektor,

[tex]\vec n_{xy} = [0, 0, 1][/tex]

Takk for svar, men jeg klarer ikke å se hvorfor det blir sånn! Altså siden den ligger i xy-planet, så vil vel x og y være 0. Men hvorfor må z være en? Det er det jeg ikke klarer å skjønne. Hvordan kom du frem til det?

Et xy-plan er jo ganske enkelt et plan som kun befinner seg i x- og y-retning, og ikke strekker seg ut i z-retning. Da må en vektor som står vinkelrett på dette planet, altså normalvektoren, være [0,0,1]. Det kan du se om du f.eks. skraverer en graf i xy-planet. Om vi skal ha en vektor som står vinkelrett på dette planet, så kan ikke den ha en annen retning enn i z-retning. Derfor må den være [0,0,1], [0,0,2], [0,0,3] e.l. [0,0,1] er enklest å regne med.

Edit: For å svare på det opprinnelige spørsmålet ditt.
Planet a har normalvektor [3,2,-2], xy-planet har normalvektor [0,0,1].
Bruker definisjonen for skalarprodukt, omformer den og får: [tex]\alpha=cos^{-1}( \frac{[3,2,-2]\cdot [0,0,1]}{|[3,2,-2]|\cdot |[0,0,1]|})[/tex]

En annen måte å finne normalvektor til et plan på er å ta utgangspunkt i en vektor som ligger i planet. En vektor som kan ligge i xy-planet er f.eks. [1,1,0]. En normalvektor finner vi da ved å multiplisere vektoren i planet med en normalvektor slik at produktet blir 0. [tex][1,1,0]*\vec n=0[/tex]. Da ser vi at vektoren [0,0,1] oppfyller dette, og den må derfor være en normalvektor for planet.