Undersøke om rekke konvergerer

[hauge1]

Hei jeg sliter litt med en oppgave her. Det vil si jeg sliter stort sett med de fleste som inneholder de samme elementene. Det jeg har problem med er tall som er opphøyd i n'te og n! (fakultet).
Den konkrete oppgaven jeg ikke får til nå er:

[tex]\frac{3^{2n}}{n!}[/tex]

Setter veldig pris på om noen kan komme med tips her!

Mvh hauge1

[Nebuchadnezzar]

Hver gang du ser potenser $a^b$, eller fakultet tenker hvertfall jeg på forholdstesten (ratio-test). Den sier følgende

Suppose we have the series $\sum_{k=1}^\infty a_k$ . Define,

$
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|
$

Then,

if $L < 1$ the series is absolutely convergent (and hence convergent).
if $L > 1$ the series is divergent.
if $L = 1$ the series may be divergent, conditionally convergent, or absolutely convergent.

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... oTest.aspx

Hva får du når du prøver å regne ut $L = \lim_{n\to \infty} |a_{n+1} / a_n|$? =)

[hauge1]

Jeg er enig i å bruke den metoden, men jeg trodde man var nødt til å sjekke grensen når An går mot uendelig. Vi har vertfall lært at vi skal få 0 her og så gå videre til steg 2 der det er naturlig å velge forholdstesten.

Mvh hauge1

[Nebuchadnezzar]

Du trenger faktisk ikke vise at det 'nte leddet går mot null (selv om det er et krav for konvergens). Anta at vi har en rekke $a_k$ som går mot en eller annen konstant som er ulik null. Matematisk beskriver dette altså

$ \hspace{1cm}
\lim_{n \to \infty} a_n = a
$

Men utsagnet ovenfor medfører også at

$ \hspace{1cm}
\lim_{n \to \infty} a_n = a
$

Som du kan få tenke litt på selv. Hvis vi nå bruker forholdstesten på denne rekken får en

$ \hspace{1cm}
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{a}{a} \right| = 1
$

Med andre ord sier ikke testen noe fornuftig dersom $a_k$ ikke går mot null. Anta at $a_n$ går mot null, da ville en fått et null / null uttrykk som kan gå mot hva som helst. Så en trenger ikke teste at $a_n$ går mot null, fordi det faller ut av testen.

-----------------------------------------

Når det er sagt er det ikke veldig vanskelig å vise at $a_n$ går mot null, selv om det strengt talt ikke er nødvendig. Første metoden er å bruke stirlings approksimasjon for fakultet.

$
\log n! = \sum_{k = 1}^{n} \log k \approx \int_1^n \log x \,\mathrm{d}x = n \log n - n + O(1)
$

Med andre ord vokser $\log n!$ ca like raskt som $n \log n - n$. Utledningen ovenfor er heldigvis ikke spesielt vanskelig å forstå siden den bruker integraler og Riemansummer.
La $c_n = n!$ og $b_n = a^{b n}$. Dersom det eksisterer en $N$ slik at $c_n > b_n$ holder for alle $n > N$ så vil $b_n / c_n$ gå mot null (hvorfor?). Siden $\log x$ er konkav, kan vi ta logaritmen av ulikheten. Så en ønsker å vise at $\log c_n > \log b_n$. Ved å sette inn fås

$ \hspace{1cm}
n \cdot ( \log n - b \log a - 1 ) > 0
$

For at uttrykket skal være større enn null så må $\log n - b \log a - 1 > 0$. Velg $N = \exp \bigl( b \log a - 1 \bigr)$. Da vil $\log c_n > \log b_n$ for alle naturlige $n > N$. Kort sagt viser dette at

$ \hspace{1cm}
\lim_{n \to \infty} \frac{ a^{b n} }{ n! } = 0 \ , \qquad \forall a,b > 0
$

Kanskje en noe mer intuitiv måte er at $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n - 1) \cdot n$. Mens $3^n = 3 \cdot 3 \cdot 3$...
Så før eller siden så vil hvert ledd i produktet $n!$ være større enn i $a^n$. Intuisjonen for $a^{b n} < n!$ er ikke like klar fordi her får en $b$ flere ledd.

[hauge1]

Dette hjalp, selv om noe av det var forbi det jeg har lært. Jeg forstod hovedessensen og bør forstå nok til å løse oppgaven. Takk!

Mvh hauge1

[viking]

EL15 svar:
n! blir større en enhver potens i 'n' hvis n blir stor nok. Uttrykket går derfor mot null.

Argument her:
Fakultet vokser raskere enn enhver eksponent for stor nok 'n'.
Det er lett å se at eksponenten over brøkstreken alltide blir 9x større for neste n.

Når n=1000 vokser telleren fortsatt med 9x, men nå vokser nevneren med 1000x