Totalmatrise - løsninger
Posted: 09/02-2016 20:05
Hei,
Jeg er ny på forumet og åpner med et litt langt innlegg
Dette har jeg lurt på litt for lenge nå, så setter pris på om noen her inne kan forklare dette på en forståelig måte. Har brukt de siste ukene på å lese lineær algebra og har fått mye hjelp fra tidligere poster på forumet allerede. Jeg har løst en oppgave og fått riktige svar, men har litt for dårlig forståelse når det kommer til løsningene til ligningssett. Jeg skal bestemme når ligningssystemet har ingen, uendelig mange og èn løsning.
Ligningssettet i denne oppgaven har totalmatrisen:
1 -2 1 3
0 1 a 0
0 0 a+1 b
Jeg har kommet fram til følgende så langt:
1) Ligningssystemet har ingen løsning når a=-1 og b er ulik 0. Da vil man få at 0=noe større eller mindre enn 0, derfor ingen løsning.
2) Ligningssystemet har uendelig mange løsninger dersom a=-1 og b=0. Da får man en nullrad nederst og z er en fri variabel (dette ses når man setter inn a=-1 og b=0, og får matrisen på redusert trappeform).
3) Ligningssystemet har èn løsning når a er ulik -1. Dette fordi determinanten til koeffisientmatrisen er a+1, og dersom determinanten er ulik 0 har ligningssystemet én løsning.
Da lurer på følgende:
1. Dersom man har en nullrad nederst på totalmatrisen. Hva forteller det egentlig om ligningsystemet? Er det da alltid gitt at ligningsystemet har en eller flere frie variabler, og derfor alltid uendelig mange løsninger?
2. Hva er egentlig årsaken til at ligningssystemet har èn løsning dersom determinanten er ulik 0? Dette har jeg bare lest, men ikke noe jeg forstår. Jeg har lest om determinanten i en geometrisk tolkning (areal/volum for parallellogram), men forstår ikke helt hvordan dette nødvendigvis henger sammen med antall løsninger. Determinanten henger også sammen med lineær avhengighet/uavhengighet, men jeg forstår heller ikke hvordan eller hvorfor.
3. I forhold til spørsmål 2: om man får totalmatrisen på trappeform eller redusert trappeform, er det mulig å se ut fra dette når ligningssystemet har én løsning, uten å regne ut determinanten og sette den ulik 0?

Jeg er ny på forumet og åpner med et litt langt innlegg

Ligningssettet i denne oppgaven har totalmatrisen:
1 -2 1 3
0 1 a 0
0 0 a+1 b
Jeg har kommet fram til følgende så langt:
1) Ligningssystemet har ingen løsning når a=-1 og b er ulik 0. Da vil man få at 0=noe større eller mindre enn 0, derfor ingen løsning.
2) Ligningssystemet har uendelig mange løsninger dersom a=-1 og b=0. Da får man en nullrad nederst og z er en fri variabel (dette ses når man setter inn a=-1 og b=0, og får matrisen på redusert trappeform).
3) Ligningssystemet har èn løsning når a er ulik -1. Dette fordi determinanten til koeffisientmatrisen er a+1, og dersom determinanten er ulik 0 har ligningssystemet én løsning.
Da lurer på følgende:
1. Dersom man har en nullrad nederst på totalmatrisen. Hva forteller det egentlig om ligningsystemet? Er det da alltid gitt at ligningsystemet har en eller flere frie variabler, og derfor alltid uendelig mange løsninger?
2. Hva er egentlig årsaken til at ligningssystemet har èn løsning dersom determinanten er ulik 0? Dette har jeg bare lest, men ikke noe jeg forstår. Jeg har lest om determinanten i en geometrisk tolkning (areal/volum for parallellogram), men forstår ikke helt hvordan dette nødvendigvis henger sammen med antall løsninger. Determinanten henger også sammen med lineær avhengighet/uavhengighet, men jeg forstår heller ikke hvordan eller hvorfor.
3. I forhold til spørsmål 2: om man får totalmatrisen på trappeform eller redusert trappeform, er det mulig å se ut fra dette når ligningssystemet har én løsning, uten å regne ut determinanten og sette den ulik 0?
