Jeg er ny på forumet og åpner med et litt langt innlegg

Ligningssettet i denne oppgaven har totalmatrisen:
1 -2 1 3
0 1 a 0
0 0 a+1 b
Jeg har kommet fram til følgende så langt:
1) Ligningssystemet har ingen løsning når a=-1 og b er ulik 0. Da vil man få at 0=noe større eller mindre enn 0, derfor ingen løsning.
2) Ligningssystemet har uendelig mange løsninger dersom a=-1 og b=0. Da får man en nullrad nederst og z er en fri variabel (dette ses når man setter inn a=-1 og b=0, og får matrisen på redusert trappeform).
3) Ligningssystemet har èn løsning når a er ulik -1. Dette fordi determinanten til koeffisientmatrisen er a+1, og dersom determinanten er ulik 0 har ligningssystemet én løsning.
Da lurer på følgende:
1. Dersom man har en nullrad nederst på totalmatrisen. Hva forteller det egentlig om ligningsystemet? Er det da alltid gitt at ligningsystemet har en eller flere frie variabler, og derfor alltid uendelig mange løsninger?
2. Hva er egentlig årsaken til at ligningssystemet har èn løsning dersom determinanten er ulik 0? Dette har jeg bare lest, men ikke noe jeg forstår. Jeg har lest om determinanten i en geometrisk tolkning (areal/volum for parallellogram), men forstår ikke helt hvordan dette nødvendigvis henger sammen med antall løsninger. Determinanten henger også sammen med lineær avhengighet/uavhengighet, men jeg forstår heller ikke hvordan eller hvorfor.
3. I forhold til spørsmål 2: om man får totalmatrisen på trappeform eller redusert trappeform, er det mulig å se ut fra dette når ligningssystemet har én løsning, uten å regne ut determinanten og sette den ulik 0?
