Totalmatrise - løsninger

[pwNiCorn]

Hei,

Jeg er ny på forumet og åpner med et litt langt innlegg Dette har jeg lurt på litt for lenge nå, så setter pris på om noen her inne kan forklare dette på en forståelig måte. Har brukt de siste ukene på å lese lineær algebra og har fått mye hjelp fra tidligere poster på forumet allerede. Jeg har løst en oppgave og fått riktige svar, men har litt for dårlig forståelse når det kommer til løsningene til ligningssett. Jeg skal bestemme når ligningssystemet har ingen, uendelig mange og èn løsning.

Ligningssettet i denne oppgaven har totalmatrisen:

1 -2 1 3
0 1 a 0
0 0 a+1 b

Jeg har kommet fram til følgende så langt:

1) Ligningssystemet har ingen løsning når a=-1 og b er ulik 0. Da vil man få at 0=noe større eller mindre enn 0, derfor ingen løsning.
2) Ligningssystemet har uendelig mange løsninger dersom a=-1 og b=0. Da får man en nullrad nederst og z er en fri variabel (dette ses når man setter inn a=-1 og b=0, og får matrisen på redusert trappeform).
3) Ligningssystemet har èn løsning når a er ulik -1. Dette fordi determinanten til koeffisientmatrisen er a+1, og dersom determinanten er ulik 0 har ligningssystemet én løsning.

Da lurer på følgende:

1. Dersom man har en nullrad nederst på totalmatrisen. Hva forteller det egentlig om ligningsystemet? Er det da alltid gitt at ligningsystemet har en eller flere frie variabler, og derfor alltid uendelig mange løsninger?
2. Hva er egentlig årsaken til at ligningssystemet har èn løsning dersom determinanten er ulik 0? Dette har jeg bare lest, men ikke noe jeg forstår. Jeg har lest om determinanten i en geometrisk tolkning (areal/volum for parallellogram), men forstår ikke helt hvordan dette nødvendigvis henger sammen med antall løsninger. Determinanten henger også sammen med lineær avhengighet/uavhengighet, men jeg forstår heller ikke hvordan eller hvorfor.
3. I forhold til spørsmål 2: om man får totalmatrisen på trappeform eller redusert trappeform, er det mulig å se ut fra dette når ligningssystemet har én løsning, uten å regne ut determinanten og sette den ulik 0?

[Brahmagupta]

Hei og velkommen til forumet!

For å ikke få så mange spesialtilfeller restrikterer vi oss til tilfellet hvor vi har $n$ ligninger
og $n$ ukjente (n=3, i oppgaven du beskriver).

1), 3) Først og fremst hvis det i den utvidede matrisen på trappeform har et pivotelement i den
siste søylen, så har systemet ingen løsning. Det vil si at det er en rad på formen $(0,...,0,r)$, $r\neq0$,
som tilsvarer den absurde ligningen $0=1$. For eksempel hvis vi har ligningene $x+y=1$ og $x+y=2$,
som åpenbart ikke har noen løsning, vil vi få en rad på denne formen.

Hvis dette ikke er tilfellet så vil antall nullrader nederst i matrisen tilsvare nøyaktig antall
frie variabler i løsningen. Har du så mye som en fri variabel i løsningen vil dette alltid medføre
at systemet har uendelig mange løsninger. Så angående spørsmål 3) er svaret positivt. Sjekk først
om det er en rad på formen $(0,...,0,r)$ (på redusert trappeform skal $r$ egentlig være lik $1$),
hvis en slik rad finnes er det ingen løsning. I motsatt fall har systemet minst en løsning. Deretter
sjekker vi om det finnes noen nullrader. Hvis ja, har systemet uendelig mange løsninger og antall
nullrader tilsvarer antall frie variabler i løsningen. Hvis nei, har systemet en unik løsning.

2) Dette er et veldig generelt spørsmål og det er vanskelig å gi et godt og utfyllende svar uten et
litt dypere dykk i teorien, men du vil garantert få større og større forståelse for disse sammenhengene
ettersom du kommer lengre inn i emnet.

Vi ser på et ligningssystem med utvidet matrise $[A\; b]$, hvor $A$ er en $n\times n$ matrise
og $b$ er søylevektoren bestående av høyresidene i ligningene. Det flotte med determinanten
$det(A)$ er at vi har full kontroll på hvordan den forandrer seg når vi utfører de forskjellige
radoperasjonene på matrisen $A$:

a) Hvis vi gjør et radbytte så skifter determinanten fortegn.
b) Hvis vi multipliserer en rad med et reelt tall $r\neq 0$,så vil determinanten til den nye matrisen
være dette tallet multiplisert med den gamle determinanten.
c) Hvis vi legger til et multiplum av en rad til en annen, så vil ikke determinanten forandre seg
i det hele tatt!

Det viktigste poenget her er at hvis du ved å radredusere $A$ ender opp med matrisen $B$ på
redusert trappeform så vil
\[ det(A)=0\Leftrightarrow det(B)=0. \]
Nå er det slik at determinanten til en $n\times n$ matrise på redusert trappeform alltid vil være
produktet av elementene på diagonalen (dette gjelder mer generelt for øvre/nedre diagonale matriser).
Dermed, vil determinanten til $B$ være lik null kun i det tilfelle hvor det finnes en hel rad med
bare nuller, hvilket inntreffer hvis og bare hvis hele systemet enten har minst en fri variabel
eller det ikke finnes noen løsning. Tilsvarende hvis $det(A)\neq 0$og dermed $det(B)\neq 0$ så vil
$B$ ikke ha noen null elementer langs diagonalen og systemet vil da ha en unik løsning.

Her er en alternativ måte å se det på (dette forutsetter litt kjennskap til matriseregning).
Som du kanskje er klar over kan et system av $n$ ligninger i $n$ ukjente også skrives som
en matriseligning $Ax=b$, hvor $A$ er en $n\times n$ matrise, $x=(x_1,...,x_n)^T$ og $b$ er
en søylevektor med lengde $n$. Det relevante resultatet her er at matrisen $A$ er
invertibel hvis og bare hvis determinanten er ulik $0$. Med andre ord hvis $det(A)\neq 0$ så
finnes en matrise $A^{-1}$ slik at $AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$, hvor $I_n$ er identitetsmatrisen.
Dette vil si at hvis matrisen $A$ i ligningen $Ax=b$ er invertibel, så kan vi multiplisere begge
sider av ligningen fra venstre med $A^{-1}$ og oppnå
$A^{-1}Ax=A^{-1}b\;\;\Rightarrow\;\; I_n x=A^{-1}b\;\;\Rightarrow\;\; x=A^{-1}b$.
Men da kan det bare finnes en løsning; nemlig $x=A^{-1}b$, og denne løser faktisk også ligningen.

[pwNiCorn]

Tusen takk for utfyllende svar!

[Aleks855]

Strengt tatt både godt formulert spørsmål OG svar.