Rekker, grenser og fakultet.Sliter med utregning av brøkene?

[Johan Nes]

Heisann,

Jeg holder nå på med rekker og har møtt på litt problemer med forkorting av brøkuttrykkene, særlig når fakultet er inkludert. Det vil si, jeg greier ikke følge eksemplene til boken.

Ved et forumsøk har jeg nå lært regelen: "Et fakultet n! kan skrives som et lavere fakultet og så gange inn faktorene som mangler".

For eksempel slik: [tex](n+1)!=n!(n+1)[/tex] eller [tex](2n+1)! = (2n-1)!(2n)(2n+1)[/tex]

Er det noen andre regler man bør kunne i forbindelse med fakultet?

Jeg kom meg litt lengre i utregningen, men ikke i mål og kanskje på villspor også, så jeg skriver bare ut det uttrykket jeg ikke forstår. Det er i forbindelse med forholdstesten:

[tex]\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{e}[/tex]

Har noen mulighet til å vise meg mellomutregningene her eller fortelle hvordan jeg skal gå frem? Skjønner heller ikke hvordan man kommer frem til 1/e for siste parentesen.

Har en annen jeg sliter med også, men kan vente med den. Kanskje jeg skjønner den om jeg får til denne.

På forhånd takk!

[Nebuchadnezzar]

Mange tar $\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n $ som definisjonen av $e$. Har du en annen definisjon av konstanten? En metode som gir noe intuisjon er å skrive om grensen som følger

$
\begin{align*}
y
= \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n
= \lim_{n \to \infty} e^{\log \left[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \right] }
= \exp\left( \lim_{n \to \infty} n \log \left( \frac{n+1}{n} \right) \right)
\end{align*}
$

Hvor en kan skrive siste biten som $1/(1/n) \log [n+(1/n)]$ også bruke l'hopital. Problemet her er jo at en bruker derivasjon av logaritmen. Som regel er logaritmen definert som den inverse funksjonen av $e^x$. Så dette blir på mange måter et sirkulært bevis. Derfor liker jeg bare å godta den grensen som definisjonen av $e$. En metode å komme rundt problemet er å bruke en annen definisjon av e også vise at de er ekvivalente. Eller bruke en annen definisjon av logaritmefunksjonen. Jeg liker for eksempel $\log x := \int_1^x 1/x \,\mathrm{d}x$ veldig godt.

https://en.wikipedia.org/wiki/Character ... l_function

https://www.google.no/url?sa=t&rct=j&q= ... FPXTMMZZEA

$
\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}
= \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!}
= \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)\cdot n!}{(n+1) \cdot (n+1)^n} \cdot \frac{n^n}{n!}
= \lim_{n \to \infty } \frac{1 }{(n+1)^n} \cdot n^n
= \lim_{n \to \infty } \frac{1}{(1+1/n)^n}
$

Siste overgang følger av at en kan skrive det som $\frac{n^n}{(1+n)^n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \left( \frac{1}{1+1/n} \right)^n = \frac{1}{(1+1/n)^n}$. Hvor en altså bare har delt på $n$ i teller og nevner.

[Johan Nes]

TUSEN takk! Der var du fremme med teskjeen og jeg liker det.

Hvor lærer man slikt egentlig? Finnes det noen gode bøker eller ressurser for slik type algebra? Det virker så enkelt i etterkant, men jeg sliter litt med å være så kreativ selv.

Får se om jeg greier neste eksempel selv, om ikke må jeg kanskje plage deg (eller noen andre) mer.

[Nebuchadnezzar]

Er noen enkle steg du kan bruke for å bli god på slike ting

1. Regn slike oppgaver til du spyr
2. Gjenta steg 1

Fra spøk til revolver handler algebra utelukkende om mengdetrenging. Etter en god stund ser en slike overganger enten en vil eller ikke.. Legger ved noen lenker

http://www.matematikk.net/matteprat/vie ... 4&p=177368

http://www.matematikk.net/matteprat/vie ... p?p=142608

Er sikkert bare å lete litt rundt på forumet.

[Johan Nes]

Tusen takk, Nebu!

En gjenganger i min voksne matematiske karriere er egentlig at jeg ofte kan forstå konseptene forholdsvis greit, men ofte snubler i selve mellomregningene, slik som her.

Skal sjekke ut de linkene. Særlig den ene så veldig nyttig ut.