stimorolextra

[tallfølge]

Jeg har tallfølgen 9, 13, 22, 38, 63 og skal finne en rekursjonsformel
Jeg sliter med å finne rekursjonsformel, og er usikker på om jeg tenker for tungvint (har kommet frem til riktig svar, men tok laaaang tid)
a2-a1=4
a3-a2=9
a4-a3=16
a5-a4=25

Jeg legger altså merke til at differansen mellom leddene er n^2. Denne differansen må jeg plusse på det forrige leddet for å få et nytt ledd.

Hvordan ville dere løst denne?

[Dolandyret]

Jeg har tallfølgen 9, 13, 22, 38, 63 og skal finne en rekursjonsformel
Jeg sliter med å finne rekursjonsformel, og er usikker på om jeg tenker for tungvint (har kommet frem til riktig svar, men tok laaaang tid)
a2-a1=4
a3-a2=9
a4-a3=16
a5-a4=25

Jeg legger altså merke til at differansen mellom leddene er n^2. Denne differansen må jeg plusse på det forrige leddet for å få et nytt ledd.

Hvordan ville dere løst denne?

På samme måte som deg

[stimorolextra]

Jeg har tallfølgen 9, 13, 22, 38, 63 og skal finne en rekursjonsformel
Jeg sliter med å finne rekursjonsformel, og er usikker på om jeg tenker for tungvint (har kommet frem til riktig svar, men tok laaaang tid)
a2-a1=4
a3-a2=9
a4-a3=16
a5-a4=25

Jeg legger altså merke til at differansen mellom leddene er n^2. Denne differansen må jeg plusse på det forrige leddet for å få et nytt ledd.

Hvordan ville dere løst denne?

På samme måte som deg

Good! Neste del av oppgaven er at man skal finne den eksplisitte formelen ved hjelp av regresjon. Jeg tenker da å bruke geogebra, og bruker et regneark med n som x-verdier og faktorene som y-verdier. Deretter bruker jeg funksjonen "reg", men det blir feil. Noen ideer om hvordan jeg kan løse denne?

[stimorolextra]

hvorfor i alle dager kaller du tråden stimorolextra ??

[Janhaa]

Jeg brukte gode gamle CASIO CFX-9850GC + og tilpassa dataene til følgende uttrykk:

[tex]\large a_n=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}+8[/tex]

[Janhaa]

hvorfor i alle dager kaller du tråden stimorolextra ??

hehe

[stimorolextra]

hvorfor i alle dager kaller du tråden stimorolextra ??

Så surrete at jeg ikke så hvilken rubrikk som var brukernavn og hvilken som var emne haha

[stimorolextra]

Jeg brukte gode gamle CASIO CFX-9850GC + og tilpassa dataene til følgende uttrykk:

[tex]\large a_n=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}+8[/tex]

Hvordan fikk du til det???

[Janhaa]

Jeg brukte gode gamle CASIO CFX-9850GC + og tilpassa dataene til følgende uttrykk:
[tex]\large a_n=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}+8[/tex]

Hvordan fikk du til det???

brukte STAT funksjonen på nevnte kalkis, og tilpassa til beste kurve på grunnlag av beste korrelasjonskoeffisient, dvs[tex]\,\,R^2[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Å finne slike formler eksakt er ikke pensum. Geogebra klarer det helt fint om du bare plotter inn punktene. Men jeg liker mye bedre å gjøre ting for hånd, for da viser det at jeg faktisk kan ting... Står litt mer her bla https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q ... 8-vB1I9L6A.

Uansett la $f(n) = ?$ betegne den eksplisitte formelen. Vi vet enda ikke hva den er, men vi har noen initial-betingelser.

$ \hspace{1cm}
f(1) = 9 \quad , \ \qquad f(n) - f(n-1) = n^2
$

Dette blir gjerne kalt en ikke homogen differenslikning av førrste grad. Strategien er først å løse den homogene likningen $ f(n) - f(n-1) = 0$ (da får vi den generelle løsningen) også legger vi til partikulærløsningen. Siden $f(n) = f(n-1)$ må den generelle løsningen være en konstant (hvorfor det?). Fra $f(1) = 9$ blir den generelle løsningen $x_n^g = 9$. Så

$ \hspace{1cm}
f(n) = 9 + h(n)
$

Målet blir nå å finne $h(n)$. Vi vet at $h(1) = 0$, siden $f(1) = 9$. Teknikken som blir brukt så er å tippe at $h(n)$ er et polynom av samme grad som venstresiden. Altså

$ \hspace{1cm}
t(n) = A n^2 + B n + C
$

Ved innsetning i likningen fås da

$ \hspace{1cm}
t(n) - t(n-1) = 2A n - A + B
$

Dette skal i utgangspunktet bli likt $n^2$. Men vi ser at første leddet vårt forsvinner, og vi må da tippe et polynom av høyere grad. Vi tipper altså

$ \hspace{1cm}
t(n) = A n^3 + B n^2 + C n + D
$

Innsetning gir nå at

$ \hspace{1cm}
t(n) - t(n-1) = 3 A n^2 + (3A + 2B)n + A - B + C
$

Vi ønsker at dette skal være likt $n^2$. Så ved å sammenligne koeffisienter får vi likningene

$
\hspace{1cm}
\begin{align*}
3 A n^2 & = n^2 \\
(3A + 2B)n & = 0 \\
A - B + C & = 0
\end{align*}
$

Som har løsninger

$ \hspace{1cm}
A = \frac{1}{3} \, , \quad B = \frac{1}{2} \, , \quad C = \frac{1}{6} \, , \quad D = 0
$

Hvor konstanten $D$ ble bestemt fra at $t(1) = 0$. Partikulærløsningen blir altså

$ \hspace{1cm}
h(n) = \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{6} n - 1
$

Ved å sette sammen den generelle løsningen og partikulærløsningen finner vi endelig løsningen på differenslikningen.

$ \hspace{1cm}
f(n) = 9 + h(n) = \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{6} n + 8
$

[stimorolextra]

Å finne slike formler eksakt er ikke pensum. Geogebra klarer det helt fint om du bare plotter inn punktene. Men jeg liker mye bedre å gjøre ting for hånd, for da viser det at jeg faktisk kan ting... Står litt mer her bla https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q ... 8-vB1I9L6A.

Uansett la $f(n) = ?$ betegne den eksplisitte formelen. Vi vet enda ikke hva den er, men vi har noen initial-betingelser.

$ \hspace{1cm}
f(1) = 9 \quad , \ \qquad f(n) - f(n-1) = n^2
$

Dette blir gjerne kalt en ikke homogen differenslikning av førrste grad. Strategien er først å løse den homogene likningen $ f(n) - f(n-1) = 0$ (da får vi den generelle løsningen) også legger vi til partikulærløsningen. Siden $f(n) = f(n-1)$ må den generelle løsningen være en konstant (hvorfor det?). Fra $f(1) = 9$ blir den generelle løsningen $x_n^g = 9$. Så

$ \hspace{1cm}
f(n) = 9 + h(n)
$

Målet blir nå å finne $h(n)$. Vi vet at $h(1) = 0$, siden $f(1) = 9$. Teknikken som blir brukt så er å tippe at $h(n)$ er et polynom av samme grad som venstresiden. Altså

$ \hspace{1cm}
t(n) = A n^2 + B n + C
$

Ved innsetning i likningen fås da

$ \hspace{1cm}
t(n) - t(n-1) = 2A n - A + B
$

Dette skal i utgangspunktet bli likt $n^2$. Men vi ser at første leddet vårt forsvinner, og vi må da tippe et polynom av høyere grad. Vi tipper altså

$ \hspace{1cm}
t(n) = A n^3 + B n^2 + C n + D
$

Innsetning gir nå at

$ \hspace{1cm}
t(n) - t(n-1) = 3 A n^2 + (3A + 2B)n + A - B + C
$

Vi ønsker at dette skal være likt $n^2$. Så ved å sammenligne koeffisienter får vi likningene

$
\hspace{1cm}
\begin{align*}
3 A n^2 & = n^2 \\
(3A + 2B)n & = 0 \\
A - B + C & = 0
\end{align*}
$

Som har løsninger

$ \hspace{1cm}
A = \frac{1}{3} \, , \quad B = \frac{1}{2} \, , \quad C = \frac{1}{6} \, , \quad D = 0
$

Hvor konstanten $D$ ble bestemt fra at $t(1) = 0$. Partikulærløsningen blir altså

$ \hspace{1cm}
h(n) = \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{6} n - 1
$

Ved å sette sammen den generelle løsningen og partikulærløsningen finner vi endelig løsningen på differenslikningen.

$ \hspace{1cm}
f(n) = 9 + h(n) = \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{6} n + 8
$

Ojj, takk! Men hvordan går jeg frem for å finne den i geogebra ved hjelp av regresjon? Jeg får det ikke til.....

[Nebuchadnezzar]

Code: Select all

FitPoly[{(1, 9), (2, 13), (3, 22), (4, 38), (4, 63)}, 4]

For eksempel. Ellers kan du bruke regnearket, markere punktene og velge lag liste med punkter. Regnearket kan åpnes fra meny eller ctrl + S.
Etter du har laget listen med punktet kan du igjen bruke kommandoen ovenfor.

Code: Select all

FitPoly[liste1, 4]

[stimorolextra]

Code: Select all

FitPoly[{(1, 9), (2, 13), (3, 22), (4, 38), (4, 63)}, 4]

For eksempel. Ellers kan du bruke regnearket, markere punktene og velge lag liste med punkter. Regnearket kan åpnes fra meny eller ctrl + S.
Etter du har laget listen med punktet kan du igjen bruke kommandoen ovenfor.

Code: Select all

FitPoly[liste1, 4]

Aha, visste ikke at det fantes noen kommando som heter FitPoly. Det står ingen plass i læreboka...
Men tusen takk!

[Nebuchadnezzar]

Bruker Geogebra konsekvent på norsk, men på engelsk heter vel kommandoen "$\text{RegPoly[liste, polynomgrad]}$"

[stimorolextra]

Bruker Geogebra konsekvent på norsk, men på engelsk heter vel kommandoen "$\text{RegPoly[liste, polynomgrad]}$"

Jeg får det ikke til:/ FitPoly finnes ikke i min geogebra, og om jeg bruker RegPoly (på norsk geogebra), så må jeg i tillegg fylle inn polynomgraden. Den aner jeg ikke hva er?