Massesenter

[Guest]

Et sfærisk skall med radius 10 har sentum i origo. Finn sentroiden til den delen av sfæren som ligger i første oktant.
Jeg har tegnet dette opp osv, og jeg tror jeg skjønner konteksten.
Men jeg har jo ingen massetetthetsfunksjon? Dog, går denne oppgaven under divergens og curl av vektorfelt, så jeg sjønner ikke helt hvordan dette skal kunne brukes til å løse oppgaven.
Videre tenker jeg meg at kulen har likningen [tex]x^2+y^2+z^2=10^2[/tex] ettersom sentrum er i orgio og radien er 10, men så har vi jo ikke en kule, men heller et skall?

Setter pris på all hjelp!

[Guest]

Noen? Jeg prøver virkelig å forstå dette konseptet, men jeg sliter med å forstå hvordan jeg skal klare å løse den. Jeg vet at figur er 100 % viktig, og jeg tror jeg har riktig bilde for meg, altså at vi har en kule, også avgrenser vi oss til første oktant, dvs både x, y og z er større eller lik null, og selve skallet vil være et lag utenfor..

[Dolandyret]

Når det kommer til "vanskeligere" matematikk, så tar det som regel litt tid før en får svar, da forumet ikke er overbefolket av folk med høyere kunnskaper. Jeg er sikker på at du får svar tho, men det kan hende du må vente litt til

[Janhaa]

Et sfærisk skall med radius 10 har sentum i origo. Finn sentroiden til den delen av sfæren som ligger i første oktant.
Jeg har tegnet dette opp osv, og jeg tror jeg skjønner konteksten.
Men jeg har jo ingen massetetthetsfunksjon? Dog, går denne oppgaven under divergens og curl av vektorfelt, så jeg sjønner ikke helt hvordan dette skal kunne brukes til å løse oppgaven.Videre tenker jeg meg at kulen har likningen [tex]x^2+y^2+z^2=10^2[/tex] ettersom sentrum er i orgio og radien er 10, men så har vi jo ikke en kule, men heller et skall?Setter pris på all hjelp!

kan du ikke bruke at:

[tex]x^2+y^2+z^2=10^2=\rho^2[/tex]

[Guest]

Et sfærisk skall med radius 10 har sentum i origo. Finn sentroiden til den delen av sfæren som ligger i første oktant.
Jeg har tegnet dette opp osv, og jeg tror jeg skjønner konteksten.
Men jeg har jo ingen massetetthetsfunksjon? Dog, går denne oppgaven under divergens og curl av vektorfelt, så jeg sjønner ikke helt hvordan dette skal kunne brukes til å løse oppgaven.Videre tenker jeg meg at kulen har likningen [tex]x^2+y^2+z^2=10^2[/tex] ettersom sentrum er i orgio og radien er 10, men så har vi jo ikke en kule, men heller et skall?Setter pris på all hjelp!

kan du ikke bruke at:

[tex]x^2+y^2+z^2=10^2=\rho^2[/tex]

Tenker du da på det uttrykket som massetettheten? Og vil kulekoordinater da være måten å løse integralet på? I så fall, tenker jeg at [tex]0\leq \Phi \leq \frac{\pi }{2}[/tex] pga. første oktant, men jeg ser ikke helt hva de andre integrasjonsgrensene kan være..

[pit]

Merk at det er en centroide, så massen er uniformt fordelt. Dvs en konstant som en kan ta utenfor integralene.

For x masse senteret kan en vel:

[tex]x_c = \frac{1}{}M\int_{0}^{\pi /2}\int_{0}^{\pi /2}\int_{0}^{10} rcos(\theta )pdv =\frac{1}{}M\int_{0}^{\pi /2}\int_{0}^{\pi /2}\int_{0}^{10}xCr^{2}sin(\theta)dr d\theta d\varphi[/tex]

hvor X = rcos(theta)

[pit]

Merk at det er en centroide, så massen er uniformt fordelt. Dvs en konstant som en kan ta utenfor integralene.

For x masse senteret kan en vel:

[tex]x_c = \frac{1}{}M\int_{0}^{\pi /2}\int_{0}^{\pi /2}\int_{0}^{10} rcos(\theta )pdv =\frac{1}{}M\int_{0}^{\pi /2}\int_{0}^{\pi /2}\int_{0}^{10}xCr^{2}sin(\theta)dr d\theta d\varphi[/tex]

hvor X = rcos(theta)

Rettelse:

[tex]x_c = \frac{1}{}M\int_{0}^{\pi /2}\int_{0}^{\pi /2}\int_{0}^{10} rcos(\theta )pdv =\frac{1}{}M\int_{0}^{\pi /2}\int_{0}^{\pi /2}\int_{0}^{10}rcos(\theta)Cr^{2}sin(\theta)dr d\theta d\varphi[/tex]

[Guest]

Nå er jeg mer med. Hvor kommer 1-tallet foran integralet fra egentlig? Altså, massen?

Og hva blir uttrykket for massetettheten i uttrykket ditt som du har skrevet opp?

Forresten, hvor kommer C-konstanten mellom [tex]cos(\Theta )[/tex] og [tex]r^2[/tex]


Takk igjen!:)

[pit]

Skrev vist utrykket for en kule, men ser at du skulle ha et skall.

Kan da sette [tex]z = \sqrt (10^2 - x^2 - y^2)[/tex]

og sette X = r*cos(theta) og Y = r*sin(theta) og kjøre ren dobbel integral med polar kooridnater.

C kommer fra at en har konstant masse over alt. Massen i hvert punkt

[pit]

[tex]x_c = \int_{r=0}^{r=10}\int_{0}^{\pi/2 }rcos(\theta )rdrd\theta[/tex] hvor
[tex]M = \int_{r=0}^{r=10}\int_{0}^{\pi/2 }Crdrd\theta[/tex]

[pit]

Latex feil...

[tex]x_c = 1/M\int_{r=0}^{r=10}\int_{0}^{\pi/2 }Crcos(\theta)rdrd\theta[/tex]

hvor
[tex]M = \int_{r=0}^{r=10}\int_{0}^{\pi/2 }Crdrd\theta[/tex]

[Guest]

Latex feil...

[tex]x_c = 1/M\int_{r=0}^{r=10}\int_{0}^{\pi/2 }Crcos(\theta)rdrd\theta[/tex]

hvor
[tex]M = \int_{r=0}^{r=10}\int_{0}^{\pi/2 }Crdrd\theta[/tex]

Er det slik at det er symmetri her? F. eks at [tex]x_{c}=y_{c}=z_{c}[/tex]

Og videre er massen gitt ved, slik jeg tolker det her: [tex]M = \int \int \int \rho dV[/tex]
Men hva er tetthetsfunksjonen, og hvorfor har du dobbeltintegral og ikke trippel?

Den C'en, hva må jeg gjøre med den? Jeg skjønner konseptet med konstant masse overalt.

Takk igjen!

[pit]

Latex feil...

[tex]x_c = 1/M\int_{r=0}^{r=10}\int_{0}^{\pi/2 }Crcos(\theta)rdrd\theta[/tex]

hvor
[tex]M = \int_{r=0}^{r=10}\int_{0}^{\pi/2 }Crdrd\theta[/tex]

Er det slik at det er symmetri her? F. eks at [tex]x_{c}=y_{c}=z_{c}[/tex]

Og videre er massen gitt ved, slik jeg tolker det her: [tex]M = \int \int \int \rho dV[/tex]
Men hva er tetthetsfunksjonen, og hvorfor har du dobbeltintegral og ikke trippel?

Den C'en, hva må jeg gjøre med den? Jeg skjønner konseptet med konstant masse overalt.

Takk igjen!

[tex]x_c = 1/M \int_{r=0}^{r=10}\int_{0}^{\pi/2 }Crcos(\theta)rdrd\theta[/tex]
[tex]y_c = 1/M\int_{r=0}^{r=10}\int_{0}^{\pi/2 }Crsin(\theta)rdrd\theta[/tex]

[tex]x_c = 1/M\int_{r=0}^{r=10}\int_{0}^{\pi/2 }C\sqrt(10^2 - x^2 -y^2)rdrd\theta = 1/M\int_{r=0}^{r=10}\int_{0}^{\pi/2 }C\sqrt(10^2 - (rcos(\theta ))^2 -(rsin(\theta))^2)rdrd\theta = 1/M\int_{r=0}^{r=10}\int_{0}^{\pi/2 }C\sqrt(10^2 - r^2)rdrd\theta[/tex]

Når en ser på første oktan, en kan se på projeksjonen av overflaten på sirkelen gjennom sentrum. Hvert punkt på overflaten vil ha samme (x,y) som projeksjonen på den ene kvartalen av sirkelen. Z finner en gjennom [tex]z = \sqrt(10^2-x^2-y^2)[/tex]

Hvis flate så er det massen av flaten og ikke kulen. Kan enten finnes ved hjelp av å bare integrere projeksjonen.

Hvis det var en kule, måtte en ha satt

[tex]x = rsin(\theta)cos(\varphi)[/tex]
[tex]y = rsin(\theta)sin(\varphi)[/tex]
[tex]z = rcos(\theta)[/tex]


[tex]x_c = 1/M \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{10}Crsin(\theta)cos(\varphi)r^2sin(\theta)drd\theta d\varphi[/tex]
[tex]y_c = 1/M \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{10}Crsin(\theta)sin(\varphi)r^2sin(\theta)drd\theta d\varphi[/tex]
[tex]z_c = 1/M \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{10}Crcos(\theta)r^2sin(\theta)drd\theta d\varphi[/tex]
[tex]M = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{10}Cr^2sin(\theta)drd\theta d\varphi[/tex]

Merk at når vi deler forsvinner C. Kan ofte bare integrere uten C.

Satte dm = Cdv hvor C er massetettheten.