[tex](i+1)^2 - i^2 = i^2 + 2i + 1 - i^2 = 2i + 1[/tex]
[tex]1 - 0[/tex]
[tex]2 -1[/tex]
[tex]...[/tex]
[tex]n^2 + (n-1)^2[/tex]
[tex](n+1)^2 - n^2[/tex]
Summerer begge sider. Venstre side er en teleskop sum...
Får da:
[tex](n+1)^2 - 0 = 2\sum_{0}^{n}i + \sum_{0}^{n}1[/tex]
[tex]n^2 + 2n + 1 = 2\sum_{0}^{n}i + n[/tex]
[tex]n^2 + n + 1 = 2\sum_{0}^{n}i[/tex]
[tex](n(n+1)+ 1)/2 = \sum_{0}^{n}i[/tex]
Hvis N er odde, er N+1 partall => N*(N+1) er partall => N*(N+1) + 1 er odde.
Hvis N er par, er N+1 odde => N*(N+1) er partall => N*(N+1) + 1 er odde.
Odde/2 rundet ned gir nøyaktig samme svar som odde-1/2.
Så fordi vi opperer med heltall vil [tex](n(n+1)+ 1)/2 = \sum_{0}^{n}i[/tex] fungere.
Det jeg lurer på er om hvorvidt denne mystiske 1 har noen anvendelse av noe slag
takk,
noe jeg lurer på
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
pit
Mentepit wrote:[tex](i+1)^2 - i^2 = i^2 + 2i + 1 - i^2 = 2i + 1[/tex]
[tex]1 - 0[/tex]
[tex]2 -1[/tex]
[tex]...[/tex]
[tex]n^2 + (n-1)^2[/tex]
[tex](n+1)^2 - n^2[/tex]
Summerer begge sider. Venstre side er en teleskop sum...
Får da:
[tex](n+1)^2 - 0 = 2\sum_{0}^{n}i + \sum_{0}^{n}1[/tex]
[tex]n^2 + 2n + 1 = 2\sum_{0}^{n}i + n[/tex]
[tex]n^2 + n + 1 = 2\sum_{0}^{n}i[/tex]
[tex](n(n+1)+ 1)/2 = \sum_{0}^{n}i[/tex]
Hvis N er odde, er N+1 partall => N*(N+1) er partall => N*(N+1) + 1 er odde.
Hvis N er par, er N+1 odde => N*(N+1) er partall => N*(N+1) + 1 er odde.
Odde/2 rundet ned gir nøyaktig samme svar som odde-1/2.
Så fordi vi opperer med heltall vil [tex](n(n+1)+ 1)/2 = \sum_{0}^{n}i[/tex] fungere.
Det jeg lurer på er om hvorvidt denne mystiske 1 har noen anvendelse av noe slag
takk,
Så fordi vi opperer med heltall vil [tex](n(n+1))/2 = \sum_{0}^{n}i[/tex] fungere.
-
pit
Bare glem det....
er en slurve feil som er årsaken. n+1 skulle være på høyre siden.
Årsaken til at jeg ser på dette, er at det er interessant for autogenering av formler for rekker på data.
Da formelen:
[tex]\sum_{0}^{n}i^k[/tex]
kan finnes generelt ved
(x+1)^k - x^k, hvor venstre side er alltid en teleskop sum, mens høyre side kan en løse opp, flytte lett på ledd...etc for å få en formel.
er en slurve feil som er årsaken. n+1 skulle være på høyre siden.
Årsaken til at jeg ser på dette, er at det er interessant for autogenering av formler for rekker på data.
Da formelen:
[tex]\sum_{0}^{n}i^k[/tex]
kan finnes generelt ved
(x+1)^k - x^k, hvor venstre side er alltid en teleskop sum, mens høyre side kan en løse opp, flytte lett på ledd...etc for å få en formel.
Jeg satt å drodla litt her om dagen. Da kom jeg frem til en rekursjonsrelasjon som jeg tror er relevant for denne tråden, med tanke på å generere formler for [tex]\sum_{k=1}^{n} k^p[/tex].
Hvis vi definerer [tex]f(n,p) = \sum_{k=1}^{n} k^p[/tex], så fant jeg denne relasjonen:
[tex]f(n,p) = n\cdot f(n,p-1) - \sum_{k=1}^{n-1} f(k,p-1)[/tex]
Den kan brukes til å rekursivt generere formler for økende p.
Som et eksempel:
Vi har åpenbart at [tex]f(n,0) = n[/tex]
Neste formel blir da:
[tex]f(n,1) = n\cdot f(n,0) - \sum_{1}^{n-1} f(k,0) = n^2 - \sum_{1}^{n-1} k = n^2 - f(n-1,1)[/tex]
Vi får dermed at:
[tex]f(n,1) + f(n-1,1) = n^2[/tex]
Vi har også åpenbart at [tex]f(n,1) - f(n-1,1) = n[/tex]
Summerer vi disse får vi:
[tex]2\cdot f(n,1) = n^2 + n[/tex], som medfører den kjære og kjente formelen [tex]f(n,1) = \frac{1}{2}n(n+1)[/tex]
Vi kan fortsette for å finne neste formel:
[tex]f(n,2) = n\cdot \frac{1}{2}n(n+1) - \frac{1}{2}\sum_1^{n-1} k^2 + k = \frac{1}{2}n^2(n+1) - \frac{1}{2}f(n-1,2) - \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}(n-1)n[/tex]
Vi får da:
[tex]2\cdot f(n,2) + f(n-1,2) = n(n^2 + \frac{1}{2}n + \frac{1}{2})[/tex]
Vi har også åpenbart at:
[tex]f(n,2) - f(n-1,2) = n^2[/tex]
Summerer vi disse får vi:
[tex]3\cdot f(n,2) = n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n + n^2[/tex]
Som gir:
[tex]f(n,2) = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)[/tex]
Og slik kan man altså fortsette for å finne videre formler, f.eks.:
[tex]f(n,3) = (\frac{1}{2}n(n+1))^2 = (f(n,1))^2[/tex]
[tex]f(n,4) = \frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)[/tex]
Kult, ikke sant?
Hvis vi definerer [tex]f(n,p) = \sum_{k=1}^{n} k^p[/tex], så fant jeg denne relasjonen:
[tex]f(n,p) = n\cdot f(n,p-1) - \sum_{k=1}^{n-1} f(k,p-1)[/tex]
Den kan brukes til å rekursivt generere formler for økende p.
Som et eksempel:
Vi har åpenbart at [tex]f(n,0) = n[/tex]
Neste formel blir da:
[tex]f(n,1) = n\cdot f(n,0) - \sum_{1}^{n-1} f(k,0) = n^2 - \sum_{1}^{n-1} k = n^2 - f(n-1,1)[/tex]
Vi får dermed at:
[tex]f(n,1) + f(n-1,1) = n^2[/tex]
Vi har også åpenbart at [tex]f(n,1) - f(n-1,1) = n[/tex]
Summerer vi disse får vi:
[tex]2\cdot f(n,1) = n^2 + n[/tex], som medfører den kjære og kjente formelen [tex]f(n,1) = \frac{1}{2}n(n+1)[/tex]
Vi kan fortsette for å finne neste formel:
[tex]f(n,2) = n\cdot \frac{1}{2}n(n+1) - \frac{1}{2}\sum_1^{n-1} k^2 + k = \frac{1}{2}n^2(n+1) - \frac{1}{2}f(n-1,2) - \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}(n-1)n[/tex]
Vi får da:
[tex]2\cdot f(n,2) + f(n-1,2) = n(n^2 + \frac{1}{2}n + \frac{1}{2})[/tex]
Vi har også åpenbart at:
[tex]f(n,2) - f(n-1,2) = n^2[/tex]
Summerer vi disse får vi:
[tex]3\cdot f(n,2) = n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n + n^2[/tex]
Som gir:
[tex]f(n,2) = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)[/tex]
Og slik kan man altså fortsette for å finne videre formler, f.eks.:
[tex]f(n,3) = (\frac{1}{2}n(n+1))^2 = (f(n,1))^2[/tex]
[tex]f(n,4) = \frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)[/tex]
Kult, ikke sant?
En annen ting man kan bruke dette til er å finne formler for summen av partialsummer.
Som et eksempel:
Vi har:
[tex]f(n,p) = n\cdot f(n,p-1) - \sum_{k=1}^{n-1} f(n,p-1)[/tex]
For p=2 får vi:
[tex]f(n,2) = n\cdot f(n,1) - \sum_{1}^{n-1} f(k,1)[/tex]
Dette gir:
[tex]\sum_{1}^{n-1} f(k,1) = n\cdot f(n,1) - f(n,2) = n^2\cdot \frac{1}{2}(n+1) - \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)[/tex]
Vi har derfor en formel for summer av type [tex](1)+(1+2)+(1+2+3)+ ...[/tex]
Det kan vi benytte for å finne ut hvor mange gaver som blir gitt i sangen "The twelve days of christmas".
Det blir:
[tex]\sum_1^{12} f(k,1) = 13^2\cdot 7 -\frac{1}{6}\cdot 13\cdot 14\cdot 27 = 364[/tex]
En liten digresjon
Som et eksempel:
Vi har:
[tex]f(n,p) = n\cdot f(n,p-1) - \sum_{k=1}^{n-1} f(n,p-1)[/tex]
For p=2 får vi:
[tex]f(n,2) = n\cdot f(n,1) - \sum_{1}^{n-1} f(k,1)[/tex]
Dette gir:
[tex]\sum_{1}^{n-1} f(k,1) = n\cdot f(n,1) - f(n,2) = n^2\cdot \frac{1}{2}(n+1) - \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)[/tex]
Vi har derfor en formel for summer av type [tex](1)+(1+2)+(1+2+3)+ ...[/tex]
Det kan vi benytte for å finne ut hvor mange gaver som blir gitt i sangen "The twelve days of christmas".
Det blir:
[tex]\sum_1^{12} f(k,1) = 13^2\cdot 7 -\frac{1}{6}\cdot 13\cdot 14\cdot 27 = 364[/tex]
En liten digresjon