Ulikheter

[matteglaa]

Når er det jeg kan løse likhetslikningen uten å tegne fortegnsskjema, og når er det jeg må tegne fortegnsskjema.
F.eks dette uttrykket: x^2<1. Det går jo fint an å tegne fortegnskjema ved å skrive x^2-1<0 og (x-1)(x+1)<0.
Men går det ikke også an å bare ta kvadratroten på begge sider? Eller det blir jo feil svar?

[Drezky]

Når er det jeg kan løse likhetslikningen uten å tegne fortegnsskjema, og når er det jeg må tegne fortegnsskjema.
F.eks dette uttrykket: x^2<1. Det går jo fint an å tegne fortegnskjema ved å skrive x^2-1<0 og (x-1)(x+1)<0.
Men går det ikke også an å bare ta kvadratroten på begge sider? Eller det blir jo feil svar?

Du trenger strengt tatt ikke å tegne fortegnsskjema på enkle ulikheter der du kan bare se svaret med en gang. Men jeg oppfordrer deg likevel til å gjøre det fordi det kreves en del jobbing før det skjer.

Du nevner utrykket: [tex]x^2<1[/tex] som kan skrives som: [tex]x^2<1\Leftrightarrow x^2-1<0\Leftrightarrow (x+1)(x-1)<0[/tex], og dette kan du sette inn i et fortengsskjema eller bare se direkte at [tex]x\in\:\left \{ -1<x<1 \right \}[/tex]

Jeg tror ikke du kan ta kvadratroten direkte slik som her:
[tex]x^2<1\Leftrightarrow \sqrt{x^2}=<\sqrt{1}\Leftrightarrow x<\pm 1\Rightarrow error?[/tex]


Et eksempel:
[tex]x^2>4[/tex]

- Tar kvadratroten

[tex]\sqrt{x^2}>2[/tex]

Ser du hva jeg gjorde her?
Det er ikke alltid slik at [tex]\sqrt{x^2}=x[/tex]. Dette stemmer bare for [tex]x\geq 0[/tex]
F.eks. [tex]\sqrt{\left ( -1 \right )^2}=1\neq-1[/tex]

Derfor må skille to løsninger:

A) Enten er [tex]x\geq 0[/tex] slik at [tex]\sqrt{x^2}=x[/tex] som fører til at [tex]x>2[/tex]

B) Eller er [tex]x<0[/tex] slik at [tex]\sqrt{x^2}=-x[/tex] som fører til at[tex]-x>2\Leftrightarrow x<-2[/tex]

For å konkludere dersom [tex]x^2>4\Leftrightarrow x\in\left \{ x<-2,x>2 \right \}[/tex]


Eller muligens:
[tex]x^2>10[/tex]
[tex]x^2>10\Leftrightarrow \left | x \right |>\sqrt{10}\Leftrightarrow x>+\sqrt{10}\:\vee x<-\sqrt{10}[/tex]



Bare husk:

[tex]\sqrt{x^2}=x\Rightarrow error[/tex]
[tex]\sqrt{x^2}=\left | x \right |\Rightarrow true[/tex]

[pit]

[tex]\sqrt ((X)^{2}) = |X|[/tex]

Så du kunne løst det på følgende måte:

[tex]X^2 -1 < 0 => X^2 < 1 => |X| < 1 => -1 < X < 1[/tex]

Altså, utrykket er sann når:

[tex]-1 < X < 1[/tex]

[Guest]

[tex]\sqrt ((X)^{2}) = |X|[/tex]

Så du kunne løst det på følgende måte:

[tex]X^2 -1 < 0 => X^2 < 1 => |X| < 1 => -1 < X < 1[/tex]

Altså, utrykket er sann når:

[tex]-1 < X < 1[/tex]

Du har feil bruk av implikasjonsteg!!

[pit]

Nope, implikasjons bruken er riktig. Så lenge det foregående er sant impliserer at det neste er sant, så er det lovelig bruk.
Kunne hatt implikasjon begge veier, for å påpeke at logikken fungerer i begge retninger. Uansett, så er det bare nødvendig med implikasjon i begge retninger hvis en må vise hvis og bare hvis.

[Guest]

Nope, implikasjons bruken er riktig. Så lenge det foregående er sant impliserer at det neste er sant, så er det lovelig bruk.
Kunne hatt implikasjon begge veier, for å påpeke at logikken fungerer i begge retninger. Uansett, så er det bare nødvendig med implikasjon i begge retninger hvis en må vise hvis og bare hvis.

Nei, uenig i det du sier:

[tex]x^2-1<0\Rightarrow x^2<1[/tex] dette blir feil

[tex]x^2-1<0\Leftrightarrow x^2<1[/tex] dette er riktig

[pit]

Beklager, du har misforstått.

A <=> B, betyr A => B AND B <= A. Simpel logikk..

A <=> B er sant, men A => B er også sant

[pit]

På universitet, har en ikke alltid gleden i å bevise ting i 2 retninger.

Selv om A <=> B, så konkluderer en med A => B fordi det var det en skulle bevise.

Hvis en er opphengt i hele tiden ha fullstendig sannhet begge veier der det går an, så
har en et MEGA problem når en skal gjøre oppgaver.

[Guest]

nei, nei.. dette er forvirrende for mange vgs elever


i likninger og ulikheter er det vanlig å bruke ekvivalenstegn for de utrykkene er riktige i begge retninger......................

[pit]

Hvis du er interessert i forstå hvorfor, så må du se på boolsk algebra:

A => B er definert som: [tex]\sim A \vee B[/tex] Hvor ~ betyr logisk ikke, og [tex]\vee[/tex] betyr logisk eller.

[tex](\sim A \vee B) \wedge (\sim B \vee A)[/tex] [tex]\wedge[/tex] betyr logisk ikke

Ved å se på påstanden (A <=> B) => (A => B) så vil en ende opp med TRUE

[pit]

det er vanlig, men ikke nødvendig

[Guest]

Hvis du er interessert i forstå hvorfor, så må du se på boolsk algebra:

A => B er definert som: [tex]\sim A \vee B[/tex] Hvor ~ betyr logisk ikke, og [tex]\vee[/tex] betyr logisk eller.

[tex](\sim A \vee B) \wedge (\sim B \vee A)[/tex] [tex]\wedge[/tex] betyr logisk ikke

Ved å se på påstanden (A <=> B) => (A => B) så vil en ende opp med TRUE

Nei, hvorfor bruker forfatteren dette i R1 boka? Han sløyfer ekvivalenstegn... Det er ikke feil med implikasjon, men strengt tatt burde man ha ekvivalens for å vise at både A og B er sann

[pit]

Fordi han som skrev R1 boka ikke kan matte.

I kalkulus fikk vi matet inn hvor feil alt som står om grense verdier er i boka, ved drøss av mot eksempler.

[Guest]

Fordi han som skrev R1 boka ikke kan matte.

I kalkulus fikk vi matet inn hvor feil alt som står om grense verdier er i boka, ved drøss av mot eksempler.

kan du utdype? er fremdeles ikke helt overbevist, ekvivalenstegn er ikke et must i likninger, men er mer korrekt enn implikasjon, med unntak av kvadrering f.eks.
en forfatter som skriver R1 R2, S1, S2, 1T kan matte!

[pit]

Det er sannelig mer korrekt med <=> enn =>, men det er ikke en nødvendighet.


I hvis og bare hvis oppgaver, skriver en ofte:


=>: (....)


<=: (...)

og da er det ofte meningsløst å snakke om <=> i =>: og <=:

Det som er feil med grense verdiene i R1, er at den formelle definisjonen av grense verdi epsiolon-delta
er ganske uenig med hva som har en grense eller ikke i forhold til R1 forfatterens definisjon.