matematikk.net

Når er det jeg kan løse likhetslikningen uten å tegne fortegnsskjema, og når er det jeg må tegne fortegnsskjema.
F.eks dette uttrykket: x^2<1. Det går jo fint an å tegne fortegnskjema ved å skrive x^2-1<0 og (x-1)(x+1)<0.
Men går det ikke også an å bare ta kvadratroten på begge sider? Eller det blir jo feil svar?

matteglaa wrote:Når er det jeg kan løse likhetslikningen uten å tegne fortegnsskjema, og når er det jeg må tegne fortegnsskjema.
F.eks dette uttrykket: x^2<1. Det går jo fint an å tegne fortegnskjema ved å skrive x^2-1<0 og (x-1)(x+1)<0.
Men går det ikke også an å bare ta kvadratroten på begge sider? Eller det blir jo feil svar?

Du trenger strengt tatt ikke å tegne fortegnsskjema på enkle ulikheter der du kan bare se svaret med en gang. Men jeg oppfordrer deg likevel til å gjøre det fordi det kreves en del jobbing før det skjer.

Du nevner utrykket: [tex]x^2<1[/tex] som kan skrives som: [tex]x^2<1\Leftrightarrow x^2-1<0\Leftrightarrow (x+1)(x-1)<0[/tex], og dette kan du sette inn i et fortengsskjema eller bare se direkte at [tex]x\in\:\left \{ -1<x<1 \right \}[/tex]

Jeg tror ikke du kan ta kvadratroten direkte slik som her:
[tex]x^2<1\Leftrightarrow \sqrt{x^2}=<\sqrt{1}\Leftrightarrow x<\pm 1\Rightarrow error?[/tex]


Et eksempel:
[tex]x^2>4[/tex]

- Tar kvadratroten

[tex]\sqrt{x^2}>2[/tex]

Ser du hva jeg gjorde her?
Det er ikke alltid slik at [tex]\sqrt{x^2}=x[/tex]. Dette stemmer bare for [tex]x\geq 0[/tex]
F.eks. [tex]\sqrt{\left ( -1 \right )^2}=1\neq-1[/tex]

Derfor må skille to løsninger:

A) Enten er [tex]x\geq 0[/tex] slik at [tex]\sqrt{x^2}=x[/tex] som fører til at [tex]x>2[/tex]

B) Eller er [tex]x<0[/tex] slik at [tex]\sqrt{x^2}=-x[/tex] som fører til at[tex]-x>2\Leftrightarrow x<-2[/tex]

For å konkludere dersom [tex]x^2>4\Leftrightarrow x\in\left \{ x<-2,x>2 \right \}[/tex]


Eller muligens:
[tex]x^2>10[/tex]
[tex]x^2>10\Leftrightarrow \left | x \right |>\sqrt{10}\Leftrightarrow x>+\sqrt{10}\:\vee x<-\sqrt{10}[/tex]



Bare husk:

[tex]\sqrt{x^2}=x\Rightarrow error[/tex]
[tex]\sqrt{x^2}=\left | x \right |\Rightarrow true[/tex]

[tex]\sqrt ((X)^{2}) = |X|[/tex]

Så du kunne løst det på følgende måte:

[tex]X^2 -1 < 0 => X^2 < 1 => |X| < 1 => -1 < X < 1[/tex]

Altså, utrykket er sann når:

[tex]-1 < X < 1[/tex]

pit wrote:[tex]\sqrt ((X)^{2}) = |X|[/tex]

Så du kunne løst det på følgende måte:

[tex]X^2 -1 < 0 => X^2 < 1 => |X| < 1 => -1 < X < 1[/tex]

Altså, utrykket er sann når:

[tex]-1 < X < 1[/tex]

Du har feil bruk av implikasjonsteg!!

Nope, implikasjons bruken er riktig. Så lenge det foregående er sant impliserer at det neste er sant, så er det lovelig bruk.
Kunne hatt implikasjon begge veier, for å påpeke at logikken fungerer i begge retninger. Uansett, så er det bare nødvendig med implikasjon i begge retninger hvis en må vise hvis og bare hvis.

pit wrote:Nope, implikasjons bruken er riktig. Så lenge det foregående er sant impliserer at det neste er sant, så er det lovelig bruk.
Kunne hatt implikasjon begge veier, for å påpeke at logikken fungerer i begge retninger. Uansett, så er det bare nødvendig med implikasjon i begge retninger hvis en må vise hvis og bare hvis.

Nei, uenig i det du sier:

[tex]x^2-1<0\Rightarrow x^2<1[/tex] dette blir feil

[tex]x^2-1<0\Leftrightarrow x^2<1[/tex] dette er riktig

Beklager, du har misforstått.

A <=> B, betyr A => B AND B <= A. Simpel logikk..

A <=> B er sant, men A => B er også sant

På universitet, har en ikke alltid gleden i å bevise ting i 2 retninger.

Selv om A <=> B, så konkluderer en med A => B fordi det var det en skulle bevise.

Hvis en er opphengt i hele tiden ha fullstendig sannhet begge veier der det går an, så
har en et MEGA problem når en skal gjøre oppgaver.

nei, nei.. dette er forvirrende for mange vgs elever


i likninger og ulikheter er det vanlig å bruke ekvivalenstegn for de utrykkene er riktige i begge retninger......................

Hvis du er interessert i forstå hvorfor, så må du se på boolsk algebra:

A => B er definert som: [tex]\sim A \vee B[/tex] Hvor ~ betyr logisk ikke, og [tex]\vee[/tex] betyr logisk eller.

[tex](\sim A \vee B) \wedge (\sim B \vee A)[/tex] [tex]\wedge[/tex] betyr logisk ikke

Ved å se på påstanden (A <=> B) => (A => B) så vil en ende opp med TRUE

det er vanlig, men ikke nødvendig

pit wrote:Hvis du er interessert i forstå hvorfor, så må du se på boolsk algebra:

A => B er definert som: [tex]\sim A \vee B[/tex] Hvor ~ betyr logisk ikke, og [tex]\vee[/tex] betyr logisk eller.

[tex](\sim A \vee B) \wedge (\sim B \vee A)[/tex] [tex]\wedge[/tex] betyr logisk ikke

Ved å se på påstanden (A <=> B) => (A => B) så vil en ende opp med TRUE

Nei, hvorfor bruker forfatteren dette i R1 boka? Han sløyfer ekvivalenstegn... Det er ikke feil med implikasjon, men strengt tatt burde man ha ekvivalens for å vise at både A og B er sann

Fordi han som skrev R1 boka ikke kan matte.

I kalkulus fikk vi matet inn hvor feil alt som står om grense verdier er i boka, ved drøss av mot eksempler.

pit wrote:Fordi han som skrev R1 boka ikke kan matte.

I kalkulus fikk vi matet inn hvor feil alt som står om grense verdier er i boka, ved drøss av mot eksempler.

kan du utdype? er fremdeles ikke helt overbevist, ekvivalenstegn er ikke et must i likninger, men er mer korrekt enn implikasjon, med unntak av kvadrering f.eks.
en forfatter som skriver R1 R2, S1, S2, 1T kan matte!

Det er sannelig mer korrekt med <=> enn =>, men det er ikke en nødvendighet.


I hvis og bare hvis oppgaver, skriver en ofte:


=>: (....)


<=: (...)

og da er det ofte meningsløst å snakke om <=> i =>: og <=:

Det som er feil med grense verdiene i R1, er at den formelle definisjonen av grense verdi epsiolon-delta
er ganske uenig med hva som har en grense eller ikke i forhold til R1 forfatterens definisjon.