Spherical harmonics

[fyskjem]

Vis for at "spherical harmonics" $Y_{2,1}$ er en eigenfunksjon for operatøren [tex]l_{x}^{2}+l_{y}^{2}[/tex] ved å finne dens eigenverdi

Dette må jo være koblet til: [tex]l^2=l_{x}^{2}+l_{y}^{2}+l_{z}^{2}[/tex]? Eller tenker jeg feil?

Takk på forhånd

[Kjemikern]

Ja, helt riktig.

[tex]\ell_{x}^{2}+\ell_{y}^{2}=\ell^{2}-\ell_{z}^{2}\\\\ (\ell^2-\ell_z^2)Y_{2,1} = \ell^2Y_{2,1}-\ell_z^2Y_{2,1}[/tex]

Som er det samme som:

[tex](\ell^2-\ell_z^2)Y_{2,1}= \hbar^2(2)(2+1)Y_{2,1}-[(\hbar)(1)]^2Y_{2,1}\\\\(\ell^2-\ell_z^2)Y_{2,1}=5\hbar Y_{2,1}[/tex]

[fyskjem]

Ja, helt riktig.

[tex]\ell_{x}^{2}+\ell_{y}^{2}=\ell^{2}-\ell_{z}^{2}\\\\ (\ell^2-\ell_z^2)Y_{2,1} = \ell^2Y_{2,1}-\ell_z^2Y_{2,1}[/tex]

Som er det samme som:

[tex](\ell^2-\ell_z^2)Y_{2,1}= \hbar^2(2)(2+1)Y_{2,1}-[(\hbar)(1)]^2Y_{2,1}\\\\(\ell^2-\ell_z^2)Y_{2,1}=5\hbar Y_{2,1}[/tex]

Selvfølgelig dette vet jeg jo! Tusen takk!