Kernel and image

[Janhaa]

Trenger hjelp til denne:

La ϕ: Q[x] → Q[ω] være ring homomorfien definert ved at ϕ(g) = g(ω). Finn kjernen og bildet til ϕ.
Der [tex]\,\omega = \exp(\text 2i \pi/3)[/tex]

kan man evt bruke divisjonsalgoritmen og grad(r) på noen måte?
der r: resten

[Gustav]

For å finne kjernen må du først finne det minimale polynomet (kall det f(x)) til $\omega$ (over $\mathbb{Q}$). Da vil kjernen bestå av alle produkter mellom elementer i Q[x] og det minimale polynomet. (ie. $\ker(\phi)=\{h(x)f(x)|h(x)\in\mathbb{Q}[x]\}$)

Edit. $\ker(\phi)=\{h(x)f(x)|h(x)\in\mathbb{Q}[x]\}=<f>=<1+x+x^2>$ da $f(x)=1+x+x^2$ er det minimale polynomet til $\omega$ over $\mathbb{Q}$

[pit]

Fordi [tex]\mathbb{Q}[x][/tex] er et felt og [tex]\mathbb{Q}[\omega][/tex] ikke er en null ring, må [tex]\phi[/tex]
være injektiv. Altså må [tex]Im(\phi)[/tex] være et felt (kropp), da [tex]\mathbb{Q}[x][/tex] er et felt (kropp).

Har at:

[tex]Im (\phi) \simeq \mathbb{Q}[x] / ker(\phi)[/tex]

Da [tex]Im (\phi))[/tex] er et felt, må [tex]ker(\phi)[/tex] være irredusibelt.

[Gustav]

Fordi [tex]\mathbb{Q}[x][/tex] er et felt og [tex]\mathbb{Q}[\omega][/tex] ikke er en null ring, må [tex]\phi[/tex]
være injektiv. Altså må [tex]Im(\phi)[/tex] være et felt (kropp), da [tex]\mathbb{Q}[x][/tex] er et felt (kropp).

Har at:

[tex]Im (\phi) \simeq \mathbb{Q}[x] / ker(\phi)[/tex]

Da [tex]Im (\phi))[/tex] er et felt, må [tex]ker(\phi)[/tex] være irredusibelt.

Q[x] er ikke en kropp.

[Gustav]

$Im(\phi)$ vil vel bestå av alle komplekse tall på formen $p+q\sqrt{3} i$ der p og q er rasjonale tall. Altså er $Im(\phi)=\mathbb{Q}[\sqrt{3}i]=\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$

Edit: la til en likhet

[pit]

obs... glemte at polynom ringer ikke kan være felt.

[Janhaa]

$Im(\phi)$ vil vel bestå av alle komplekse tall på formen $p+q\sqrt{3} i$ der p og q er rasjonale tall. Altså er $Im(\phi)=\mathbb{Q}[\sqrt{3}i]$

Takker, dette hjalp mye.