Ringhomomorfier og kropp

[Janhaa]

Hvordan kan jeg ved bruk av fundamentalteoremet for ringhomomorfier vise at [tex]\,\mathbb{Q}[x]/<f>\,[/tex] er isomorf som ring med [tex]\mathbb{Q}[\omega][/tex]?
der [tex]\,f= x^2+x+1\,[/tex]og
[tex]\omega = \text exp(2i\pi/3)[/tex]

Og hvorfor er[tex]\,\mathbb{Q}[\omega]\,[/tex] en kropp?

[pit]

Generelt har en at hvis I er et ideal så eksisterer den en kanonisk ring homomorfisme [tex]\mu : G \rightarrow G/I[/tex].
En må altså vise at [tex]<x^2 + x + 1>[/tex]. er et ideal generert av [tex]f = x^2 + x + 1.[/tex].

F.eks:

[tex]\mathbb{Q}[X] \rightarrow \mathbb{Q}[X]/<X^2+X+1>[/tex]

Håper det er noe du kan bruke.

Tror ikke [tex]\mathbb{Q}[\omega][/tex] er en kropp, da det er en polynom ring.

[Gustav]

Hvordan kan jeg ved bruk av fundamentalteoremet for ringhomomorfier vise at [tex]\,\mathbb{Q}[x]/<f>\,[/tex] er isomorf som ring med [tex]\mathbb{Q}[\omega][/tex]?
der [tex]\,f= x^2+x+1\,[/tex]og
[tex]\omega = \text exp(2i\pi/3)[/tex]

Og hvorfor er[tex]\,\mathbb{Q}[\omega]\,[/tex] en kropp?

Fra forrige spørsmål fant vi at $ker(\phi)=<f>$ ( $f=1+x+x^2$ er det minimale polynomet til $\omega$)og $im(\phi)=\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$. Fra fundamentalteoremet for ringhomomorfier er derfor $\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]\simeq \mathbb{Q}[x]/<f>$ der $\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]=\mathbb{Q}[\omega]$

(Siden $\omega ^3 =1$ er $\mathbb{Q}[\omega]=\{a+b\omega+c\omega^2|a,b,c\in\mathbb{Q}\}$. Bruker du Eulers formel og omskriver $\omega$ på formen $x+iy$, så ser du at $\mathbb{Q}[\omega]=\mathbb{Q}[\sqrt{3}i]=\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$)

[Fibonacci92]

Kommentar til pit: Nå er faktisk $\mathbb{Q}(\omega) = \mathbb{Q}[\omega]$ en kropp. Dette er fordi $\omega$ ikke er en "indeterminant", men faktisk oppfyller relasjonen $\omega^2 + \omega +1 = 0$. Derimot er $\mathbb{Q}[x] \neq \mathbb{Q}(x)$, siden $x$ er en indeterminant.

Merk f.eks. at $\frac{1}{\omega} = \frac{-\omega^2-\omega}{\omega} = -\omega - 1 \in \mathbb{Q}[\omega]$, så $\omega$ har faktisk en invers i dette tilfellet.

[Brahmagupta]

Siden $f(\omega)=0$ og $f$ er irredusibel over $\mathbb{Q}$ følger det at $f=irr(\omega,\mathbb{Q})$.
Dette vil si at $(f)$ er kjernen til homomorfien $\phi_\omega :\mathbb{Q}[x]\to \mathbb{C}$
(alternativt $\to \overline{\mathbb{Q}}$ eller en annen kropp som inneholder både $\mathbb{Q}$ og $\omega$).
Her er $\mathbb{Q}[\omega]$ bildet av $\phi_\omega$ og ved fundamentalteoremet har vi at
\[\mathbb{Q}/(f)=\mathbb{Q}[x]/\operatorname{ker}(\phi_\omega)\cong
\operatorname{im}(\phi_\omega)=\mathbb{Q}[\omega].\]
Videre følger det at $\mathbb{Q}[\omega]=\operatorname{im}(\phi_\omega)$ er en kropp siden $(f)$ er et maksimalt
ideal ($f$ er irredusibel). Generelt brukes notasjonen $\mathbb{Q}(\omega)$ for den minste
kroppsutvidelsen av $\mathbb{Q}$ som inneholder $\omega$. I dette tilfellet vil da $\mathbb{Q}[\omega]=\mathbb{Q}(\omega)$.

Det er heller ikke så vanskelig og se at $\mathbb{Q}[\omega]$ er en kropp direkte.
$\mathbb{Q}[\omega]$ er utspent som vektorrom over $\mathbb{Q}$ av $\{1,\omega\}$. Vi vet allerede
at $\mathbb{Q}[\omega]$ er et integritetsdomene, siden den er inneholdt i en kropp,
så det holder å vise at ethvert element $a+b\omega\neq 0$, $a,b\in \mathbb{Q}$, har en
multiplikativ invers. Det er ikke vanskelig å sjekke at $(a+b\omega^ 2)/(a^2-ab+b^2)$
er en slik invers og at denne også ligger i $\mathbb{Q}[\omega]$.

[Janhaa]

Siden $f(\omega)=0$ og $f$ er irredusibel over $\mathbb{Q}$ følger det at $f=irr(\omega,\mathbb{Q})$.
Dette vil si at $(f)$ er kjernen til homomorfien $\phi_\omega :\mathbb{Q}[x]\to \mathbb{C}$
(alternativt $\to \overline{\mathbb{Q}}$ eller en annen kropp som inneholder både $\mathbb{Q}$ og $\omega$).
Her er $\mathbb{Q}[\omega]$ bildet av $\phi_\omega$ og ved fundamentalteoremet har vi at
\[\mathbb{Q}/(f)=\mathbb{Q}[x]/\operatorname{ker}(\phi_\omega)\cong
\operatorname{im}(\phi_\omega)=\mathbb{Q}[\omega].\]
Videre følger det at $\mathbb{Q}[\omega]=\operatorname{im}(\phi_\omega)$ er en kropp siden $(f)$ er et maksimalt
ideal ($f$ er irredusibel). Generelt brukes notasjonen $\mathbb{Q}(\omega)$ for den minste
kroppsutvidelsen av $\mathbb{Q}$ som inneholder $\omega$. I dette tilfellet vil da $\mathbb{Q}[\omega]=\mathbb{Q}(\omega)$.
Det er heller ikke så vanskelig og se at $\mathbb{Q}[\omega]$ er en kropp direkte.
$\mathbb{Q}[\omega]$ er utspent som vektorrom over $\mathbb{Q}$ av $\{1,\omega\}$. Vi vet allerede
at $\mathbb{Q}[\omega]$ er et integritetsdomene, siden den er inneholdt i en kropp,
så det holder å vise at ethvert element $a+b\omega\neq 0$, $a,b\in \mathbb{Q}$, har en
multiplikativ invers. Det er ikke vanskelig å sjekke at $(a+b\omega^ 2)/(a^2-ab+b^2)$
er en slik invers og at denne også ligger i $\mathbb{Q}[\omega]$.

tusen takk for alle bidragene folkens...