matematikk.net

Har funnet ut følgende:

grad[tex](\sqrt{2}, \mathbb{Q})\,=2\,[/tex]og irr[tex](\sqrt[3]{3}, \mathbb{Q})\,=x^3-3[/tex]
videre er:
[tex]a=2+\sqrt[3]{3}\,\,[/tex]og grad[tex](a, \mathbb{Q})\, = \text grad(\sqrt[3]{3}, \mathbb{Q})\,[/tex]
men hvorfor er:
[tex]\sqrt{2+\sqrt[3]{3}}\,\,[/tex]algebraisk over [tex]\,\,\mathbb{Q}[/tex]?

Hvis vi setter $\alpha=\sqrt{2+\sqrt[3]3}$ og jobber oss bakover er det ikke så vanskelig
å finne $p(x)\in\mathbb{Q}[x]$ med $p(\alpha)=0$.
\[\alpha=\sqrt{2+\sqrt[3]3}\Rightarrow \alpha^2=2+\sqrt[3]3\Rightarrow (\alpha^2-2)^3=3\Rightarrow (\alpha^2-2)^3-3=0\]
Dermed vil $p(x)=(x^2-2)^3-3\in\mathbb{Q}[x]$ oppfylle $p(\alpha)=0$, som viser
at $\alpha$ er algebraisk over $\mathbb{Q}$.

Brahmagupta wrote:Hvis vi setter $\alpha=\sqrt{2+\sqrt[3]3}$ og jobber oss bakover er det ikke så vanskelig
å finne $p(x)\in\mathbb{Q}[x]$ med $p(\alpha)=0$.
\[\alpha=\sqrt{2+\sqrt[3]3}\Rightarrow \alpha^2=2+\sqrt[3]3\Rightarrow (\alpha^2-2)^3=3\Rightarrow (\alpha^2-2)^3-3=0\]
Dermed vil $p(x)=(x^2-2)^3-3\in\mathbb{Q}[x]$ oppfylle $p(\alpha)=0$, som viser
at $\alpha$ er algebraisk over $\mathbb{Q}$.

ser så lett ut når du danser i gjennom - thanks