Hei,
Jeg leser ofte i fasiten i statistikkoppgavene at "Siden ... er en lineærkombinasjon av X-ene som er uavhengige og normalfordelte, er gjennomsnitts-x-en også normalfordelt.
Kan jeg bli forklart hva som egentlig ligger i dette uten å gå tungt inn i vektorer?
-G
Lineærkombinasjon av x-ene
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
$\vec X = a\vec x_1+ b\vec x_2$ der $a,b$ er konstanter.
$\vec X$ er da en lineærkombinasjon av $x_1, x_2$ hvis den kan skrives som en slik sum av de to x-ene.
$\vec X$ er da en lineærkombinasjon av $x_1, x_2$ hvis den kan skrives som en slik sum av de to x-ene.
Hvis vi har et sett med uavhengige, normalfordelte variabler [tex]X_i \backsim N(\mu_i,\sigma^2_i)[/tex]
Så vil en hvilken som helst lineær kombinasjon av disse variablene også være normalfordelt:
[tex]\sum_1^n a_iX_i \backsim N(\sum_1^n a_i\mu_i,\sum_1^n a_i^2\sigma_i^2)[/tex]
Hvis [tex]\bar{X} = \sum_1^n\frac{1}{n}X_i[/tex], så er alle [tex]a_i = \frac{1}{n}[/tex]. Dette er en lineær kombinasjon, derfor er også [tex]\bar{X}[/tex] normalfordelt.
Så vil en hvilken som helst lineær kombinasjon av disse variablene også være normalfordelt:
[tex]\sum_1^n a_iX_i \backsim N(\sum_1^n a_i\mu_i,\sum_1^n a_i^2\sigma_i^2)[/tex]
Hvis [tex]\bar{X} = \sum_1^n\frac{1}{n}X_i[/tex], så er alle [tex]a_i = \frac{1}{n}[/tex]. Dette er en lineær kombinasjon, derfor er også [tex]\bar{X}[/tex] normalfordelt.