Uendelige rekker

[Lasaronen]

Er det sånn at man kun kan finne summen av en uendelig rekke dersom det er en fast k-verdi (dvs. dersom rekken er geometrisk?)

1+1/1!+1/2!+1/3!+.....

Denne uendelige rekken for eksempel, det er jo ingen fast k? Og dermed er den ikke geometrisk heller? Den er heller ikke aritmetisk? Hvordan finner jeg summen da?

[sbra]

Det finnes ingen metode som man kan bruke for å finne summen for alle rekker. Ofte vet man at en rekke konvergerer, men man vet ikke nødvendigvis hva den konvergerer til.

I din rekke så kan du bruke følgende taylorekspansjon for å finne summen: [tex]e^x = \sum_0^\infty \frac{x^n}{n!}[/tex]

[Lasaronen]

Det finnes ingen metode som man kan bruke for å finne summen for alle rekker. Ofte vet man at en rekke konvergerer, men man vet ikke nødvendigvis hva den konvergerer til.

I din rekke så kan du bruke følgende taylorekspansjon for å finne summen: [tex]e^x = \sum_0^\infty \frac{x^n}{n!}[/tex]

Men den er verken geometrisk eller aritmetisk sant? Hvordan kan jeg f.eks finne en eksplisitt formel for ledd nr. n?

[Fysikkmann97]

an = 1/(n - 1)! ?

[Lasaronen]

an = 1/(n - 1)! ?

Jaa, var det jeg også tenkte var logisk! Men hvordan kan jeg utlede den/vise hvordan jeg har kommet frem til den? Og hvordan kan jeg egentlig finne summen ut i fra det?

[Nebuchadnezzar]

Dersom du skal vise at den blir $e$ må du da først definere hva $e$ er. Dersom du definerer $e$ til å være $e = 2.718281828$ holder det bare å skrive ut noen ledd og se hva summen blir. Hvis du har en annen definisjon av $e$ må du da vise at disse to er like. En mulighet er å vise at

$
\lim_{ n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}
$

Finnes flere måter å vise dette på

https://www.google.no/url?sa=t&rct=j&q= ... TUFTrYVjhA

http://math.stackexchange.com/questions ... equivalent

[lasaronen]

Dersom du skal vise at den blir $e$ må du da først definere hva $e$ er. Dersom du definerer $e$ til å være $e = 2.718281828$ holder det bare å skrive ut noen ledd og se hva summen blir. Hvis du har en annen definisjon av $e$ må du da vise at disse to er like. En mulighet er å vise at

$
\lim_{ n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}
$

Finnes flere måter å vise dette på

https://www.google.no/url?sa=t&rct=j&q= ... TUFTrYVjhA

http://math.stackexchange.com/questions ... equivalent

Ja, tusen takk! Men hvordan vet du egentlig at den blir e? Dessuten står det i oppgaven at jeg må kommentere svaret. Jeg skjønner ikke hva jeg skal kommentere

[lasaronen]

Dersom du skal vise at den blir $e$ må du da først definere hva $e$ er. Dersom du definerer $e$ til å være $e = 2.718281828$ holder det bare å skrive ut noen ledd og se hva summen blir. Hvis du har en annen definisjon av $e$ må du da vise at disse to er like. En mulighet er å vise at

$
\lim_{ n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}
$

Finnes flere måter å vise dette på

https://www.google.no/url?sa=t&rct=j&q= ... TUFTrYVjhA

http://math.stackexchange.com/questions ... equivalent

Ja, tusen takk! Men hvordan vet du egentlig at den blir e? Dessuten står det i oppgaven at jeg må kommentere svaret. Jeg skjønner ikke hva jeg skal kommentere

Og i oppgaven står det også at jeg skal finne summen ved å bruke CAS, men jeg får det ikke til

[Fysikkmann97]

Bruk Sum[]. $a_n = \frac{1}{n!}$, start = 0 og slutt kan du bruke ∞.

[lasaronen]

Bruk Sum[]. $a_n = \frac{1}{n!}$, start = 0 og slutt kan du bruke ∞.

Ja, takk - jeg gjorde det bare at jeg brukte an=(1/(n-1)!) i steden, det er vel riktig det også eller? Jeg fikk i hvertfall som svar at summen=e, men jeg er usikker på hva som menes med at jeg skal kommentere svaret? Jeg ser jo at summen er lik eulertallet, men skal jeg kommentere/forklare noe mer utover dette?

[Fysikkmann97]

http://bit.ly/1ToPKJV

[lasaronen]

http://bit.ly/1ToPKJV

Takk! Men gitt at dette hadde vært en oppgave på en eksamen.... Hvor mye/hva hadde de da forventet at jeg tok med på "kommenter svaret"?

[Nebuchadnezzar]

"Summen blir 2.718281828. Det ser ut som summen nærmer seg den matematiske konstanten e"

Er hva som forventes at du svarer. Som du sier kan du ikke vite at summen blir nøyaktig e. Derfor skriver du at det ser ut som den nærmer seg konstanten. For eksempel ser det ut som

$ \hspace{1cm}
\sum_{i = 0}^\infty \frac{(0.9999999999999)^i}{i!}
$

er $e$. Men det er jo den ikke, bare veldig nærme. Når det er sagt er $ e^x = \sum_{i = 0}^\infty x^i/i!$ en av få rekker du bør kunne.

EDIT:

Du kan og teste ut

Code: Select all

e - sum[ 1/i! , 0 , sett inn stort tall]

å se at summen blir nærmere og nærmere $e$ jo flere ledd du tar med.

[Lasaronen]

"Summen blir 2.718281828. Det ser ut som summen nærmer seg den matematiske konstanten e"

Er hva som forventes at du svarer. Som du sier kan du ikke vite at summen blir nøyaktig e. Derfor skriver du at det ser ut som den nærmer seg konstanten. For eksempel ser det ut som

$ \hspace{1cm}
\sum_{i = 0}^\infty \frac{(0.9999999999999)^i}{i!}
$

er $e$. Men det er jo den ikke, bare veldig nærme. Når det er sagt er $ e^x = \sum_{i = 0}^\infty x^i/i!$ en av få rekker du bør kunne.

Ok, takk for svar! Men når jeg løser oppgaven i CAS så får jeg at summen av den uendelige rekken blir lik e. Kan jeg ikke da skrive at den blir nøyaktig e? For det blir vel nøyaktig når man har uendelig mange ledd, men uendelig mange ledd er jo i realiteten umulig å få til..... I teorien kan summen bli e, men i praksis kan man komme så nær man bare vil men aldri 100% nøyaktig?

[Nebuchadnezzar]

Den matematiske konstanten $e$ er irrasjonell, med andre ord er desimalutvidelsen uendelig. Altså så er ikke $e$ hverken lik 2.7, eller 2.71828 eller 2.718281828 antallet desimaler fortsetter i det uendelige.

e = 2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571382178525166427 .......

også videre også videre. Når du finner den uendelige summen i geogebra runder den av summen til de første 10 eller 20 siffrene. Med andre ord vet du bare at summen din stemmer over ens for de første n siffrene. Test ut summen jeg skrev i forrige innlegget, det ser ut som denne også blir $e$, men det er feil.

For å vise at summen faktisk er $e$ (og ikke bare veldig nærme) må en gå grundigere til verks. En må altså bruke selve definisjonen av e ikke bare en tilnærming. Dette forventes ikke på videregående, men er du interessert kan du lese litt på lenkene ovenfor.