matematikk.net

a)
Skriv polynomet[tex]\,f = 2x^2-10\,[/tex]som ett produkt av irredusible polynomer i[tex]\,\mathbb{Q}(\sqrt{5})[x]\,[/tex], og list opp de irredusible polynomene i faktoriseringa.

dette er vel bare [tex]\,2(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})[/tex]?Hvilken forskjelll er det om spm er irredusible polynomer i[tex]\,\mathbb{Q}[x]\,\mathbb{Z}[x]\,eller,\mathbb{Z_5}[x][/tex]

generelt er [tex]\,x^2-5\,[/tex]irredusibel over [tex]\mathbb{Q}\,[/tex]ved Eisenstein for p = 5. Ergo er f irredusibel over [tex]\mathbb{Z}\,[/tex]også.
Da [tex]\,f = 2(x^2-5)[/tex]

b)Er
[tex][\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{5}) : \mathbb{Q}] = 4[/tex]?

Janhaa wrote:a)
Skriv polynomet[tex]\,f = 2x^2-10\,[/tex]som ett produkt av irredusible polynomer i[tex]\,\mathbb{Q}(\sqrt{5})[x]\,[/tex], og list opp de irredusible polynomene i faktoriseringa.

dette er vel bare [tex]\,2(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})[/tex]?Hvilken forskjelll er det om spm er irredusible polynomer i[tex]\,\mathbb{Q}[x]\,\mathbb{Z}[x]\,eller,\mathbb{Z_5}[x][/tex]

generelt er [tex]\,x^2-5\,[/tex]irredusibel over [tex]\mathbb{Q}\,[/tex]ved Eisenstein for p = 5. Ergo er f irredusibel over [tex]\mathbb{Z}\,[/tex]også.
Da [tex]\,f = 2(x^2-5)[/tex]

b)Er
[tex][\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{5}) : \mathbb{Q}] = 4[/tex]?

a) f er irredusibelt over Q, men redusibelt over Z, siden 2 er et ikke-invertibelt element i Z.

I $Z_5[x]$ vil jo $f=2\cdot x\cdot x$, så f er helt klart redusibelt over $Z_5$

(edit: Gauss´lemma sier for øvrig at dersom f er irredusibel over Z, så er f irredusibel over Q, men det motsatte gjelder altså ikke. )

b) $Q(\sqrt{2},\sqrt{5})=\{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{5}+d\sqrt{10}|a,b,c,d\in Q\}$, så graden over Q er 4.

Trikset her er forresten å bruke at $Q(\sqrt{2},\sqrt{5})=Q(\sqrt{2})(\sqrt{5})$

plutarco wrote:

Janhaa wrote:a)
Skriv polynomet[tex]\,f = 2x^2-10\,[/tex]som ett produkt av irredusible polynomer i[tex]\,\mathbb{Q}(\sqrt{5})[x]\,[/tex], og list opp de irredusible polynomene i faktoriseringa.

dette er vel bare [tex]\,2(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})[/tex]?Hvilken forskjelll er det om spm er irredusible polynomer i[tex]\,\mathbb{Q}[x]\,\mathbb{Z}[x]\,eller,\mathbb{Z_5}[x][/tex]
generelt er [tex]\,x^2-5\,[/tex]irredusibel over [tex]\mathbb{Q}\,[/tex]ved Eisenstein for p = 5. Ergo er f irredusibel over [tex]\mathbb{Z}\,[/tex]også.
Da [tex]\,f = 2(x^2-5)[/tex]
b)Er
[tex][\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{5}) : \mathbb{Q}] = 4[/tex]?

a) f er irredusibelt over Q, men redusibelt over Z, siden 2 er et ikke-invertibelt element i Z.
I $Z_5[x]$ vil jo $f=2\cdot x\cdot x$, så f er helt klart redusibelt over $Z_5$
(edit: Gauss´lemma sier for øvrig at dersom f er irredusibel over Z, så er f irredusibel over Q, men det motsatte gjelder altså ikke. )
b) $Q(\sqrt{2},\sqrt{5})=\{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{5}+d\sqrt{10}|a,b,c,d\in Q\}$, så graden over Q er 4.
Trikset her er forresten å bruke at $Q(\sqrt{2},\sqrt{5})=Q(\sqrt{2})(\sqrt{5})$

hmmm...takker...virker som jeg forsatt misforstår...se på oppg 4 i eksamenssettet under:
virker for meg som hele bunten er irredusibelt...

De fleste av dem er jo redusible..

Her er mine løsninger på hele oppgave 4 fra eksamenssettet du linka til:

1) $2x^2-10=2(x^2-5)$. De irredusible faktorene er hhv. $2$ og $x^2-5$. Merk at $2$ her anses som en faktor fordi $2$ ikke har en invers i Z. Det har enkelt å greit med definisjonen av irredusibilitet/faktorer/enheter å gjøre. En analogi vil være at 1 (som sammen med -1 er de eneste enhetene i Z) ikke anses som en primtallsfaktor i Z.

2) Her vil, til forskjell fra i 1), $2x^2-10$ være irredusibel. Forskjellen fra forrige deloppgave er at $2$ er en såkalt enhet i Q, siden 2 har en invers (elementet $\frac12$) i Q.

3) $2x^2-10=(2x-2\sqrt{5})(x+\sqrt{5})$. De irredusible faktorene er $2x-2\sqrt{5}$ og $x+\sqrt{5}$. $2$ er en enhet (unit), så den betraktes ikke som en irredusibel faktor. Merk at denne faktoriseringen ikke er unik siden vi kunne ganget inn $2$ i den siste faktoren. (men den er unik opp til migrasjon av enheter)

4) mod(5) er $-10\equiv 0$ så $2x^2-10=2x^2=2x\cdot x$. De irredusible faktorene er hhv. 2x og x, der 2 igjen er en enhet fordi den er invertibel (med invers $3$).

5) Anta at $2x^2-10$ er redusibelt med rot $m+n\sqrt{2}$. Da kan vi skrive $2x^2-10=(x-m-n\sqrt{2})(2x-a)=2x^2-ax-(m+n\sqrt{2})2x+a(m+n\sqrt{2})$. Sammenligning av koeffisienter gir at $a=-2m-2n\sqrt{2}$ og $a(m+n\sqrt{2})=(-2m-2n\sqrt{2})(m+n\sqrt{2})=-10$, som er det samme som at

$-2 m^2-4n^2-4 \sqrt{2} m n=-10$. Siden $n,m \in\mathbb{Q}$, betyr dette at enten n eller m må være 0, men da må enten $m^2=5$ eller $n^2=\frac52$. Siden ingen av disse har noen rasjonal løsning, kan ikke polynomet være redusibelt i $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[x]$.

6) Bruk at $[Q(\sqrt{2},\sqrt{5}):Q]=[Q(\sqrt{2})(\sqrt{5}):Q(\sqrt{2})]\cdot [Q(\sqrt{2}):Q]$. Siden $x^2-2$ er det minimale polynomet til $\sqrt{2}$ over Q, vil $[Q(\sqrt{2}):Q]=2$. Siden $2x^2-10$ er det minimale polynomet til $\sqrt{5}$ over $Q(\sqrt{2})$, er $[Q(\sqrt{2})(\sqrt{5}):Q(\sqrt{2})]=2$

Ta en titt på forskjellene her https://en.wikipedia.org/wiki/Irreducib ... e_examples

Tusen takk plutarco, jeg skal studere dette Nøye!