Derivasjon

[Guest]

[tex]f(x)=\frac{lnx-x}{lnx+x}[/tex]

Skjønner at jeg må bruke kvotientregelen men sliter når jeg skal faktorisere. Noen som kan vise fremgangsmåten?

[Fysikkmann97]

$f(x) = \frac{\ln x - x}{\ln x + x} = \frac{\ln x}{\ln x + x} - \frac{x}{\ln x + x} \\
f'(x) = \frac{\frac 1x(\ln x + x) - (\frac 1x + 1)\ln x}{(\ln x + x)^2} - \frac{\ln x + x - x(\frac 1x + 1)}{(\ln x + x)^2} \\
f'(x) = \frac{\frac {\ln x}{x} + 1 - \frac {\ln x}{x} -\ln x}{(\ln x + x)^2} - \frac{\ln x + x - 1 - x}{(\ln x + x)^2} \\
f'(x) = \frac{1 -\ln x}{(\ln x + x)^2} - \frac{\ln x - 1 }{(\ln x + x)^2} \\
f'(x) = \frac{2(1 -\ln x)}{(\ln x + x)^2}

$

[Drezky]

[tex]f(x)=\frac{lnx-x}{lnx+x}[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{\frac{d}{dx}u*v-u*\frac{d}{dx}v}{v^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{\left ( \frac{1}{x}-1 \right )*\left ( lnx+x \right )-\left ( \frac{1}{x}+1 \right )\left ( lnx-x \right )}{\left ( lnx+x \right )^2}=\frac{\frac{1}{x}-1}{lnx+x}-\frac{\left ( \frac{1}{x}+1 \right )\left ( lnx-x \right )}{(lnx+x)^2}=-\frac{2\left ( lnx-1 \right )}{(lnx+x)^2}[/tex]



Prøvde meg på å omskrive utrykket, men det viste seg at det er et irredusibell polynom