Sliter med en noe vanskelig oppgave fra det kanskje vanskeligste eksamenssettet. Vet ikke om jeg hadde fått til en slik på eksamen uansett, men hadde vært greit å prøve å forstå den. Kanskje jeg kan lære noe.
"Gitt [tex]A=\begin{bmatrix} 1&2 \\ 2&1 \end{bmatrix}[/tex] og [tex]x=\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}[/tex] og [tex]y=\begin{bmatrix} u\\v \end{bmatrix}[/tex].
Finn en 2X2 matrise B slik at med [tex]y=Bx[/tex] vil [tex]xAx=-u^2+3v^2[/tex]"
Alle x-ene skal være vektorer, men fikk ikke til å lage vektor symbol.
Fasit sier kort: Da [tex]A=PDP^-1[/tex] og A har egenverdiene -1 og 3, kan vi velge [tex]B=P^T[/tex] der kolonnevektorene til P er normaliserte egenvektorer for A som svarer til -1 og 3 fra venstre. Så,
[tex]P= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1\\-1 & 1 \end{bmatrix}[/tex] og [tex]B=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & -1\\1 & 1 \end{bmatrix}[/tex]
Noen som vil prøve seg?
Kommer nok til å legge den til siden så lenge, så griner ikke om jeg ikke får den til. Har inntrykk av at den ligger noe over hva som er vanlig på eksamen.
