matematikk.net

Hei alle,

Sliter med en noe vanskelig oppgave fra det kanskje vanskeligste eksamenssettet. Vet ikke om jeg hadde fått til en slik på eksamen uansett, men hadde vært greit å prøve å forstå den. Kanskje jeg kan lære noe.

"Gitt [tex]A=\begin{bmatrix} 1&2 \\ 2&1 \end{bmatrix}[/tex] og [tex]x=\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}[/tex] og [tex]y=\begin{bmatrix} u\\v \end{bmatrix}[/tex].

Finn en 2X2 matrise B slik at med [tex]y=Bx[/tex] vil [tex]xAx=-u^2+3v^2[/tex]"

Alle x-ene skal være vektorer, men fikk ikke til å lage vektor symbol.

Fasit sier kort: Da [tex]A=PDP^-1[/tex] og A har egenverdiene -1 og 3, kan vi velge [tex]B=P^T[/tex] der kolonnevektorene til P er normaliserte egenvektorer for A som svarer til -1 og 3 fra venstre. Så,

[tex]P= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1\\-1 & 1 \end{bmatrix}[/tex] og [tex]B=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & -1\\1 & 1 \end{bmatrix}[/tex]

Noen som vil prøve seg?

Kommer nok til å legge den til siden så lenge, så griner ikke om jeg ikke får den til. Har inntrykk av at den ligger noe over hva som er vanlig på eksamen.

På en slik eksamen ville jeg nok har skrevet følgende... så jeg tror ikke jeg heller ville klart den.

[tex]x^TAx = x^2 + 4xy + y^2[/tex]

Du ønsker å fjerne kryssprodukt ledd, som burde være noe en øyeblikkelig tenker på.

Dette gjør en ved å finne egenverdiee til A som er -1 og 3.

Da vil [tex]X^TDX = -x^2 + 3y^2[/tex]
[tex]x^TDx = (B^{-1}y)^TD(B^{-1}y) = y^T(B^{-1})^TDB^{-1}y[/tex]


[tex](B^{-1})^T = P => B^{-1} = P^T[/tex]

da [tex]A = PDP^{-1}[/tex]
vil
[tex]y^TAy = -u^2 + 3v^2[/tex]

Konklusjon: [tex]B = (P^T)^{-1}[/tex]. Hvis [tex]B = B^{-1}[/tex] vil [tex]B = P^T[/tex]

P vektoren finner en på vanlig måte ved hjelp av egenverdier

nb! du må også vise at:

[tex]P^{-1} = P^T[/tex]

Takker og bukker!

Skal se om jeg får sett på den i løpet av dagen. Akkurat nå prioriterer jeg mengdetrening på det jeg vet jeg kan mestre, men hvor jeg trenger litt mer øving.