kuleflate forhold

[Guest]

Svaret mitt stemmer ikke overens med fasiten:

En kuleflate med likningen $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-4{)}^2=49$ deles av planet $2x+3y-6z+2=0$. Finn forholdet mellom overflaten av den største og minste delen av kuleflaten.


Ser at $S(2,-1,4)$ og $r=7$ i kula.

Finner avstanden fra sentrum i kula til planet: $D=\frac{|2\ast (2)+3\ast (-1)-6\ast (4)+2|}{\sqrt{2^2+3^2+(-6{)}^2}}=\frac{|-21|}{\sqrt{49}}=\frac{21}{7}=3$

Pythagoras på kulesegmentet gir: $a^2+D^2=r^2$ hvor normalen består av $D$ og $h$ slik at: $h=r-D=7-2=4$

Forholdet blir da:$Forhold=\frac{O_{stor}}{O_{liten}}=\frac{4\pi r^2}{2\pi rh}=2r\ast \frac{1}{h}=2\ast 7\ast \frac{1}{4}=3.5$

Svaret skal bli $2.5$


noen???

[Janhaa]

hjelper dette?

http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=30835

[Guest]

hjelper dette?

http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=30835

fant denne, men ser ikke noen svar på denne oppgaven.. Ser du feilen jeg gjør??

[Guest]

I tillegg til det lurer jeg også på en oppgave :

et tetraeder har hjørner O=(0,0,0), A=(4,2,1), B=(2,5,2) og C=(1,-4,6)

a) regn ut volumet av tetraedet: denne klarte jeg.
b) Finn overflaten : denne sliter jeg veldig med , har sittet i over 1 time uten noen lykke.
c: finn vinkelen mellom kantene AB og AC: Denne klarte jeg.
d: bestem vinkelen mellom sideflatene av OAB og OAC : denne kommer jeg ingen vei med.

Sliter fortsatt med den første oppgaven!! jeg får 3.5 , men fasiten sier 2.5 ....

[pit]

Overflaten til et kulesegment er gitt ved:
$S=2\pi rh$ hvor r er radiusen til kulen, og h er høyden til segmentet.

Ved å finne avstand D mellom kulens origo og plan, så kan en finne høyden $h_1=r-D$ for høyden
til minste segment og

$h_2=2r-h_1=2r-(r-D)=r+D$ for høyden til største segment

Overflate forholdet blir da:
$\frac{O_1}{O_2}=\frac{2\pi r{h}_2}{2\pi r{h}_1}=\frac{h_2}{h_1}=\frac{r+D}{r-D}$

som i ditt tilfellet gir:
$\frac{O_2}{O_1}=\frac{7+3}{7-3}=\frac{10}{4}=2.5$

[pit]

Overflaten til tetraeder er summen av arealet til fire trekanter som utgjør overflaten.

Ved å utnytte at arealet for en trekant er $A=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|$
så kan en finne arealet til de 4 trekantene.

[pit]

Ved å finne normal vektorene til sideflatene som er lik $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$, så vil du kunne bruke at $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|cos(\mathrm{\angle }(u,v))$ for å finne vinkelen mellom sideflatene.

[Guest]

takk, sliter med en annen oppgave:

eT Tetraeder er begrenset av planene $y=0$ $z=0$ $x+y=0$ og $2x+z-2=0$

a) finn ut hjørnene i tetraedet: denne klarte jeg:

fikk at :

$A(0,0,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,0,2)$


b) en plan romfigur har de samme hjørnene osm tetraedret i oppgave a. I tillegg til har det et hjørne P som ligger på normalen på $2x+z-2=0$ gjennom origo. Finn koordinatene til punktet E når origo og E ligger symmetrisk om planet $2x+z-2=0$

denne klarte jeg og fikk at $E(1.6,0,0.8)$

så kommer problemet:


c) Regn ut volumet av figuren i oppgave B?

Volumet av en tetraedet er $V=\frac{1}{6}|(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC})\ast \overrightarrow{AD}|$

men hvis jeg regner ut de vektorene og volumet får jeg $V=\frac{1}{6}\left|2\right|=\frac{1}{3}$
og svaret skal bli $\frac{2}{3}$ i følge fasiten.

Hva gjlr jeg feil??

[Guest]

takk, sliter med en annen oppgave:

eT Tetraeder er begrenset av planene $y=0$ $z=0$ $x+y=0$ og $2x+z-2=0$

a) finn ut hjørnene i tetraedet: denne klarte jeg:

fikk at :

$A(0,0,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,0,2)$


b) en plan romfigur har de samme hjørnene osm tetraedret i oppgave a. I tillegg til har det et hjørne P som ligger på normalen på $2x+z-2=0$ gjennom origo. Finn koordinatene til punktet E når origo og E ligger symmetrisk om planet $2x+z-2=0$

denne klarte jeg og fikk at $E(1.6,0,0.8)$

så kommer problemet:


c) Regn ut volumet av figuren i oppgave B?

Volumet av en tetraedet er $V=\frac{1}{6}|(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC})\ast \overrightarrow{AD}|$

men hvis jeg regner ut de vektorene og volumet får jeg $V=\frac{1}{6}\left|2\right|=\frac{1}{3}$
og svaret skal bli $\frac{2}{3}$ i følge fasiten.

Hva gjlr jeg feil??

noen? føler jeg ikke helt har kontrollen her,

[Drezky]

takk, sliter med en annen oppgave:

eT Tetraeder er begrenset av planene $y=0$ $z=0$ $x+y=0$ og $2x+z-2=0$

a) finn ut hjørnene i tetraedet: denne klarte jeg:

fikk at :

$A(0,0,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,0,2)$


b) en plan romfigur har de samme hjørnene osm tetraedret i oppgave a. I tillegg til har det et hjørne P som ligger på normalen på $2x+z-2=0$ gjennom origo. Finn koordinatene til punktet E når origo og E ligger symmetrisk om planet $2x+z-2=0$

denne klarte jeg og fikk at $E(1.6,0,0.8)$

så kommer problemet:


c) Regn ut volumet av figuren i oppgave B?

Volumet av en tetraedet er $V=\frac{1}{6}|(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC})\ast \overrightarrow{AD}|$

men hvis jeg regner ut de vektorene og volumet får jeg $V=\frac{1}{6}\left|2\right|=\frac{1}{3}$
og svaret skal bli $\frac{2}{3}$ i følge fasiten.

Hva gjlr jeg feil??

noen? føler jeg ikke helt har kontrollen her,

Det jeg har erfart med å jobbe med slike oppgaver (geometri/vektorregning) er at det er helt essensielt å tegne en skisse.


Nå er det ganske deprimerende å drive å skissere romfigurer i et tredimensjonalt koordinatsystem... Plott derfor koordinatene i GeoGebra. Du legger merke til en vesentlig detalj: Romfiguren dannet av de 5 koordinatene består av to tetraeder som er speilvendte. Husk at et tetraeder er begrenset av fire trekanter. Volumet av romfiguren blir likeledes dobbelt så stor som volumet av et enkel tetraeder.

Ellers er alt riktig:

$\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}=[1,0,0]\times [0,0,2]=[0,-2,0]$

$V=2\ast \frac{1}{6}|(\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB})\ast \overrightarrow{OC}|=\frac{2}{3}$