La z representere komplekse tall og i den imaginære enheten.
Vi antar at 0≤Arg(z)<2pi. Løs likningen.
Noen som kan fortelle meg hvordan man løser en slik likning?
Mvh Oleper
z(z-1)^100=iz hvordan gjør man det? [Komplekse tall]
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Nicolaisen
- Pytagoras
- Posts: 17
- Joined: 10/08-2016 15:55
Vi har ligningen
[tex]z(z-1)^{100}=iZ[/tex]
en ligning i n'te potens, har n komplekse løsninger, så det er minst 100 løsninger. I tillegg ser vi at
[tex]z=0[/tex]
er en løsning.
Videre gir deg seg da at
[tex]z(z-1)^{100}=iZ \Rightarrow (z-1)^{100}=i, z\neq 0[/tex]
euler gir oss at i kan skrives som et komplekst tall med vinkel [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]
dette gir da:
[tex](z-1)^{100}=i=e^{i\frac{\pi}{2}+2\pi n}[/tex]
legg merke til [tex]+2\pi n[/tex], i er definert ved hver hele rotasjon.
Videre kan vi nå
[tex]z-1=(e^{i\frac{\pi}{2}+2\pi n})^{\frac{1}{100}}[/tex]
[tex]z=e^{i\frac{\pi}{100}+\frac{\pi n}{50}}+1[/tex]
Nå gjenstår bare å finne alle mulige løsninger innenfor argumentet til z ved korrekt valg av n
[tex]0\leq ArgZ \leq 2\pi[/tex]
[tex]n=0: z=e^i\frac{\pi}{100}+1[/tex]
[tex]n=100: z=e^{i\frac{\pi}{100}+\frac{\pi 100}{50}}=e^{i2\pi+\frac{\pi}{50}}+1[/tex]
for n=100 er vi utenfor argumentet til z, derfor er alle de 100 løsningene fraogmed n=0 tilogmed n=99 løsninger for denne ligningen.
[tex]z=e^{i\frac{\pi}{100}+\frac{\pi 100}{50}}+1[/tex] der n er alle heltall fra 0 til 99
Løsningen på slik form vil jeg anta er godkjent
[tex]z(z-1)^{100}=iZ[/tex]
en ligning i n'te potens, har n komplekse løsninger, så det er minst 100 løsninger. I tillegg ser vi at
[tex]z=0[/tex]
er en løsning.
Videre gir deg seg da at
[tex]z(z-1)^{100}=iZ \Rightarrow (z-1)^{100}=i, z\neq 0[/tex]
euler gir oss at i kan skrives som et komplekst tall med vinkel [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]
dette gir da:
[tex](z-1)^{100}=i=e^{i\frac{\pi}{2}+2\pi n}[/tex]
legg merke til [tex]+2\pi n[/tex], i er definert ved hver hele rotasjon.
Videre kan vi nå
[tex]z-1=(e^{i\frac{\pi}{2}+2\pi n})^{\frac{1}{100}}[/tex]
[tex]z=e^{i\frac{\pi}{100}+\frac{\pi n}{50}}+1[/tex]
Nå gjenstår bare å finne alle mulige løsninger innenfor argumentet til z ved korrekt valg av n
[tex]0\leq ArgZ \leq 2\pi[/tex]
[tex]n=0: z=e^i\frac{\pi}{100}+1[/tex]
[tex]n=100: z=e^{i\frac{\pi}{100}+\frac{\pi 100}{50}}=e^{i2\pi+\frac{\pi}{50}}+1[/tex]
for n=100 er vi utenfor argumentet til z, derfor er alle de 100 løsningene fraogmed n=0 tilogmed n=99 løsninger for denne ligningen.
[tex]z=e^{i\frac{\pi}{100}+\frac{\pi 100}{50}}+1[/tex] der n er alle heltall fra 0 til 99
Løsningen på slik form vil jeg anta er godkjent