Commutative algebra

[CharlieEppes]

okei så jeg sliter litt med å vise denne b oppgaven.
Let k be a field.
a. Show that (x, y) is a maximal ideal in k[x, y].
b. Showthat(x−1,y−2)isamaximalidealink[x,y].

løste oppgave a) ved først vise at (x,y) er et prime ideal, for å så definere en funksjon
∂ : k ---> k[x,y]/(x,y) , der ∂(q) = q + (x,y) for alle q i k
vi ser fort at addisjon og multiplikasjon er bevart => homomorphism
vi ser at ∂ sender alle q i k til settet av polynomer over k med konstantledd q => onto
og siden polynomer med forskjellige konstantledd er forskjellige => 1-1
da har vi at ∂ er en isomorphism => k[x,y]/(x,y) er et field.
og vi har da et proposition som sier at
I maximal <==> A/I is a field.
dermed er (x,y) maximal ideal.

Jeg får litt problemer når jeg skal gjøre (b)
ser for meg at jeg må definere en isom. mellom (x,y) og (x-1,y-2), men står litt stille på hvordan.
tar hjertelig imot alle tips

[Guest]

Du kan bruke samme framgangsmåte for oppg. b: La $\partial:k[x,y]\to k$ være evalueringshomomorfien i (1,2), altså $\partial(f(x,y))=f(1,2)\in k$. Da er $\partial$ surjektiv; argumenter for at kjernen til $\partial$ er nettopp $(x-1,y-2)$. Du har da vist at $\partial$ induserer en isomorfi $k[x,y]/(x-1,y-2)\cong k$.
PS. Field oversettes til kropp på norsk.

[CharlieEppes]

Takk for svar! dette hjalp masse
er kjernen = kernel? ker ∂ = (x-1,y-2)?

Og ja vet jeg suger på de norske ordene. Er ikke så lett når forelesning og bøker er på engelsk

[Gustav]

er kjernen = kernel? ker ∂ = (x-1,y-2)?

Jepp. Bare litt nysgjerrig, hvilken bok brukes og hvilket fag er det? Atiyah & Macdonald?

[CharlieEppes]

Vi bruker Undergraduate commutative algebra - Miles Reid som hoved bok i commutativ algebra på UiB(MAT224)
Er ikke spesielt glad i boken. Føles som den "skipper" mange viktige punkt i bevis og utdyper ikke spesielt bra hva og hvorfor i bevisene :/
Vi har bruker også Kemper(kan ikke tittel) som tilleggsbok, men har ikke fått tak i den noen sted så kan ikke si noe om den.