Areal av parallellogram med vektorer

[hco96]

Hei, jeg har følgende oppgave:

Vektorene $\overrightarrow{a}=[8,-3]$ og $\overrightarrow{b}=[1,5]$ Spenner ut et parallellogram.
a) Finn arealet av parallellogrammet.

Er det noen som kan gi meg noen tips på hva jeg kan bruke for å finne høyden?

På forhånd, takk.

EDIT: jeg ser at jeg har lagt inn innlegget i feil forum, det skal egentlig ligge i VGS-forumet.

[Drezky]

Tenk: "Hva er en høyde i en trekant?"

Kan du f.eks. bruke en arealsetning samt phytagoras, eller noen trignometriske funksjoner?

[hco96]

Selve høyden tenker jeg at jeg kan bruke formelen for lengder til vektorer, problemet mitt er å klare å finne en vektor som er ortogonal på vektor $\overrightarrow{a}$, altså grunnlinjen. Er det innafor å bruke arealsetning/trig. funksjoner på R1 eksamen? Har hatt om dette på forkurs til ingeniør, men jeg skal ha R1 eksamen om 2 uker.

[Drezky]

Selve høyden tenker jeg at jeg kan bruke formelen for lengder til vektorer, problemet mitt er å klare å finne en vektor som er ortogonal på vektor $\overrightarrow{a}$, altså grunnlinjen. Er det innafor å bruke arealsetning/trig. funksjoner på R1 eksamen? Har hatt om dette på forkurs til ingeniør, men jeg skal ha R1 eksamen om 2 uker.

Hvis ikke oppgaven presiserer noe annet enn at du skal finne høyden i parallellogrammet, så kjør på! Men siden oppgaven nevner vektorer, så tror jeg at det er "best" om vi ikke forlater vektorens verden.



Prøv å finn et punkt $C$ som er parallell med $\overrightarrow{AB}$ og samtidig står vinkelrett på linja gjennom $\ell :origo-D$
Hint: tenk parameterframstilling.
Ev. bare å utrykke punktet $C$ ved hjelp av en posisjonsvektor (tenk; gå gjennom kjente veier), og denne vektoren $\overrightarrow{OC}\perp \overrightarrow{AB}$

[hco96]

Jeg tenkte nogenlunde likt som det du gjorde, men jeg støtte på et par problemer.
Jeg lagde en linje $y=-\frac{3}{8}x$, hvilket ligger oppå vektor $\overrightarrow{a}$(grunnlinjen). Denne tilsvarer $l:Origo-D$ som du sa.
Etter det lagde jeg enda en linje som sto vinkelrett på $y$,dvs. $g=\frac{8}{3}x$.
Her begynte problemene, jeg tenkte at jeg kunne finne $C$ ved å regne ut hvor linja $g$ skjærer $AB$ (på din figur).
Men dette fikk jeg ikke til, hvordan skal jeg løse det? Jeg har prøvd å lage en parameterframstilling for en linje gjennom A(din figur) $l:AtilB$. Fungerer dette? Eller må jeg gå frem på en annen måte?

Edit: Prøvde å regne det ut på følgende måte:
$A(1,5),\overrightarrow{a}=[8,-3]$
$l:\{x=1+8t,y=5-3t$ og $g=\frac{8}{3}x$
$\Rightarrow 5-3t=\frac{8}{3}(1+8t)$
er dette riktig fremgangsmåte? Jeg regnet det ut men punktet ligger ikke der hvor $g$ skjærer $AB$ (din figur) i geogebra.

[Drezky]

Jeg tenkte nogenlunde likt som det du gjorde, men jeg støtte på et par problemer.
Jeg lagde en linje $y=-\frac{3}{8}x$, hvilket ligger oppå vektor $\overrightarrow{a}$(grunnlinjen). Denne tilsvarer $l:Origo-D$ som du sa.
Etter det lagde jeg enda en linje som sto vinkelrett på $y$,dvs. $g=\frac{8}{3}x$.
Her begynte problemene, jeg tenkte at jeg kunne finne $C$ ved å regne ut hvor linja $g$ skjærer $AB$ (på din figur).
Men dette fikk jeg ikke til, hvordan skal jeg løse det? Jeg har prøvd å lage en parameterframstilling for en linje gjennom A(din figur) $l:AtilB$. Fungerer dette? Eller må jeg gå frem på en annen måte?

Tja, dette fungerer, men kan egentlig løses mye enklere.

Husk også at vi har koordinatene til alle hjørnene i parallelogrammet siden
to og to sider er parallelle, da kan f.eks. $B=(x,y)$, og siden vektoren fra $D$ til $B$ er parallell med $\overrightarrow{a}$, får vi at $\overrightarrow{a}=[x-8,y--3]=[1,5]\Rightarrow B=(9,2)$



Det skal være mulig å finne høyden $h$ ved bruk av din metode. Det er helt riktig at $y=-\frac{3}{8}x$ er grunnflaten i parallellogrammet, og at høyden ligger oppå linja $y=\frac{8}{3}x$

Det resterende blir å finne skjæringen mellom linja som går gjennom $AB$, dvs
$3x+8y=43\iff y=-\frac{3}{8}x+\frac{43}{8}$

Finn skjæringspunktet $x=\frac{129}{73}$
x-verdien innsatt i likninga (hvilken som helst gir at)

$C=(\frac{129}{73},\frac{344}{73})$

Resten burde vel gå greit herfra?


Men en annen måte å løse denne på (beklager hvis jeg gir ut hele løsningsforslaget nå)

Punktet $C$ ligger på linja gjennom $A$ og $B$ slik at
$\overrightarrow{AC}\parallel \overrightarrow{AB}\iff \overrightarrow{AC}=k\ast \overrightarrow{AB}$

Vi går gjennom "kjente veier" Se figur: vi har at

$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}+k\ast \overrightarrow{AB}=[8k+1,5-3k]$

Bruker at $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{OD}\iff \overrightarrow{AC}\ast \overrightarrow{a}=0\iff k=\frac{7}{73}$

Dvs at punktet $C$ har koordinatene $\overrightarrow{OC}=[8\ast \left(\frac{7}{73}\right)+1,5-3\ast \left(\frac{7}{73}\right)]=[\frac{129}{73},\frac{344}{73}]$

Dermed blir høyden i parallellogrammet lik $h=\left|\overrightarrow{OC}\right|=\frac{43}{\sqrt{73}}$

Alternativt kunne man finne en parameterfremstilling gjennom begge begge linja, og bruke at den korteste avstanden (høyden) står normalt på begge retningsvektorene til linja $\overrightarrow{r}$
og fått to likninger med to ukjente, og satt dette deretter inn i $\left|\overrightarrow{PQ}\right|$
, hvor $P$ og $Q$ er to tilfeldige punkt på linja uttrykkt ved forskjellige parametere.

[hco96]

Skjønner! takk for hjelpen.