hei, kan noen hjelpe meg med dette oppgåven her, og jeg har prøvd??
En funksjon er gitt ved: f (x, y) = 2x^2 + 2xy + 2y^2 + 4 .
a) Finn de partielle deriverte av første og andre orden til f.
Fx=4x+2y Fy=2x+4y
Fxx=4 Fyy=4 Fxy=2
er dette rett ??
b) Finn det stasjonære punktet til funksjonen og karakteriser det.
Fx(x,y)= 2 --- x=2
Fy(x,y)=-2 -----x= -2
Fxx*Fyy-(Fxy)^2= (2,-2)*(2,-2)-(2,-2)^2=0
og dermed blir stasjonære punket 0, og hvordan karakteriser det??? har jeg gjort det rett, er veldig usikker????
c)Punktet P = (−1, 1, f (−1, 1)) ligger p ̊a flaten som er grafen til funksjonen f . Regn ut gradientvektoren til f i dette punktet. Gi likningen til tangentplanet til grafen til f i punktet P.
hvordan gjøre dette???
hjelp til oppgåve, og he jeg gjort rett??
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Fysikkmann97
- Lagrange
- Posts: 1258
- Joined: 23/04-2015 23:19
b)
Krav for at et punkt er stasjonert:
$\frac { \partial f}{ \partial x} = 0 \wedge \,\frac{ \partial f}{ \partial y} = 0$
Det gir deg et/flere punkt(er) $(x_0,y_0)$. Det punktet bruker du så for å regne ut de ulike verdiene A, B og C nedenfor.
A = $\frac {\partial^2 f}{\partial x^2}$ (partiellderivert av andre orden mhp. x)
B = $\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ partiellderivert av andre orden mhp. x og y
C =$\frac {\partial^2 f}{\partial y^2}$ partiellderivert av andre orden mhp. y
Om $AC - B^2 > 0\, og\, A > 0$, så er punktet et minimumspunkt
Om $AC - B^2 > 0 \, og\, A < 0$, så er punktet et maksimumspunkt
Om $AC - B^2 < 0$, så er punktet et sadelpunkt.
Krav for at et punkt er stasjonert:
$\frac { \partial f}{ \partial x} = 0 \wedge \,\frac{ \partial f}{ \partial y} = 0$
Det gir deg et/flere punkt(er) $(x_0,y_0)$. Det punktet bruker du så for å regne ut de ulike verdiene A, B og C nedenfor.
A = $\frac {\partial^2 f}{\partial x^2}$ (partiellderivert av andre orden mhp. x)
B = $\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ partiellderivert av andre orden mhp. x og y
C =$\frac {\partial^2 f}{\partial y^2}$ partiellderivert av andre orden mhp. y
Om $AC - B^2 > 0\, og\, A > 0$, så er punktet et minimumspunkt
Om $AC - B^2 > 0 \, og\, A < 0$, så er punktet et maksimumspunkt
Om $AC - B^2 < 0$, så er punktet et sadelpunkt.
Et stasjonært punkt er et punkt hvor funksjonen ikke vokser/minker. Dette skjer der den/de deriverte er lik 0, da den deriverte gir et mål på stigning i punkt. Derfor er det kritiske punktet, som fysikkmann påpeker der [tex]\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=0[/tex]. Videre kan du bruke Hesse-matrisen H(x,y) for å karakterisere punktet.
[tex]H(x,y)=\begin{bmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\ f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{bmatrix}[/tex].
Regner du ut determinanten av denne, vil det kritiske punktet (a,b) være:
i) minimum dersom [tex]f_{xx}(a,b)>0\wedge det(H(a,b))>0[/tex]
ii) maksimum dersom [tex]f_{xx}(a,b)<0\wedge det(H(a,b))>0[/tex]
iii) saddelpunkt dersom [tex]det(H(a,b))<0[/tex]
iv) inkonklusiv dersom[tex]det(H(a,b))=0[/tex]
[tex]H(x,y)=\begin{bmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\ f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{bmatrix}[/tex].
Regner du ut determinanten av denne, vil det kritiske punktet (a,b) være:
i) minimum dersom [tex]f_{xx}(a,b)>0\wedge det(H(a,b))>0[/tex]
ii) maksimum dersom [tex]f_{xx}(a,b)<0\wedge det(H(a,b))>0[/tex]
iii) saddelpunkt dersom [tex]det(H(a,b))<0[/tex]
iv) inkonklusiv dersom[tex]det(H(a,b))=0[/tex]