matematikk.net

hei, kan noen hjelpe meg med dette oppgåven her, og jeg har prøvd??


En funksjon er gitt ved: f (x, y) = 2x^2 + 2xy + 2y^2 + 4 .

a) Finn de partielle deriverte av første og andre orden til f.

Fx=4x+2y Fy=2x+4y

Fxx=4 Fyy=4 Fxy=2


er dette rett ??


b) Finn det stasjonære punktet til funksjonen og karakteriser det.

Fx(x,y)= 2 --- x=2
Fy(x,y)=-2 -----x= -2

Fxx*Fyy-(Fxy)^2= (2,-2)*(2,-2)-(2,-2)^2=0

og dermed blir stasjonære punket 0, og hvordan karakteriser det??? har jeg gjort det rett, er veldig usikker????

c)Punktet P = (−1, 1, f (−1, 1)) ligger p ̊a flaten som er grafen til funksjonen f . Regn ut gradientvektoren til f i dette punktet. Gi likningen til tangentplanet til grafen til f i punktet P.

hvordan gjøre dette???

b)

Krav for at et punkt er stasjonert:

$\frac { \partial f}{ \partial x} = 0 \wedge \,\frac{ \partial f}{ \partial y} = 0$

Det gir deg et/flere punkt(er) $(x_0,y_0)$. Det punktet bruker du så for å regne ut de ulike verdiene A, B og C nedenfor.

A = $\frac {\partial^2 f}{\partial x^2}$ (partiellderivert av andre orden mhp. x)

B = $\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ partiellderivert av andre orden mhp. x og y

C =$\frac {\partial^2 f}{\partial y^2}$ partiellderivert av andre orden mhp. y

Om $AC - B^2 > 0\, og\, A > 0$, så er punktet et minimumspunkt

Om $AC - B^2 > 0 \, og\, A < 0$, så er punktet et maksimumspunkt

Om $AC - B^2 < 0$, så er punktet et sadelpunkt.

Skjønner ikke

Et stasjonært punkt er et punkt hvor funksjonen ikke vokser/minker. Dette skjer der den/de deriverte er lik 0, da den deriverte gir et mål på stigning i punkt. Derfor er det kritiske punktet, som fysikkmann påpeker der [tex]\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=0[/tex]. Videre kan du bruke Hesse-matrisen H(x,y) for å karakterisere punktet.

[tex]H(x,y)=\begin{bmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\ f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{bmatrix}[/tex].

Regner du ut determinanten av denne, vil det kritiske punktet (a,b) være:
i) minimum dersom [tex]f_{xx}(a,b)>0\wedge det(H(a,b))>0[/tex]
ii) maksimum dersom [tex]f_{xx}(a,b)<0\wedge det(H(a,b))>0[/tex]
iii) saddelpunkt dersom [tex]det(H(a,b))<0[/tex]
iv) inkonklusiv dersom[tex]det(H(a,b))=0[/tex]