Exact sequence modules

[CharlieEppes]

Explain that [tex]M \overset{\beta}{\rightarrow} N \rightarrow 0[/tex]
is an exact sequence if and only if β is surjective.
Ser dette greit ut?
Her er hva jeg gjorde:

[tex]L \overset{\alpha}{\rightarrow} M \overset{\beta}{\rightarrow} N[/tex]
er eksakt på M dersom [tex]Im \alpha = ker \beta[/tex].

[=>]
Vi har [tex]N \rightarrow 0[/tex] er null homomorphism
som gir [tex]n \mapsto 0 , \forall n\in N[/tex]
[tex]\implies \ker{(zeromorphism)} = N[/tex]
[tex]\implies Im \beta = N = \ker{(zeromorphism)} \implies \beta[/tex] må ta M til hele N
Dvs. at [tex]\beta[/tex] må være på/onto/surjective.
[<=]
[tex]\beta : surjective \implies im \beta = N[/tex]
siden [tex]\forall n \in N, \exists m \in M[/tex]
[tex]\beta (m) = n[/tex]
Vi har da [tex]im\beta = N = \ker(zeromorphism)[/tex]

[Gustav]

[<=]
[tex]\beta : surjective \implies im \beta = N[/tex]
siden [tex]\forall n \in N, \exists m \in M[/tex]
[tex]\beta (m) = n[/tex]
Vi har da [tex]im\beta = N = \ker(zeromorphism)[/tex]

Her er det opplagt at hvis $\alpha: N\to 0$, så er $\ker(\alpha)=N$. Alle elementer i $N$ må jo avbildes til $0$. Hvis $\beta$ er surjektiv, så er $im (\beta)=N$, og da er $\ker(\alpha)=im(\beta)$, så følgen er eksakt.

[CharlieEppes]

Så det var riktig det jeg hadde gjort? (mer eller mindre)

[Gustav]

Jo da, det er ikke feil, men disse to linjene under er vel litt overflødige, og tilfører ikke noe spesielt til beviset

siden [tex]\forall n \in N, \exists m \in M[/tex]
[tex]\beta (m) = n[/tex]

[CharlieEppes]

var vell bare for å vise at når beta er på
medfølger at bilde av beta er hele N, kunne selvfølgelig droppet det