matematikk.net

Explain that [tex]M \overset{\beta}{\rightarrow} N \rightarrow 0[/tex]
is an exact sequence if and only if β is surjective.
Ser dette greit ut?
Her er hva jeg gjorde:

[tex]L \overset{\alpha}{\rightarrow} M \overset{\beta}{\rightarrow} N[/tex]
er eksakt på M dersom [tex]Im \alpha = ker \beta[/tex].

[=>]
Vi har [tex]N \rightarrow 0[/tex] er null homomorphism
som gir [tex]n \mapsto 0 , \forall n\in N[/tex]
[tex]\implies \ker{(zeromorphism)} = N[/tex]
[tex]\implies Im \beta = N = \ker{(zeromorphism)} \implies \beta[/tex] må ta M til hele N
Dvs. at [tex]\beta[/tex] må være på/onto/surjective.
[<=]
[tex]\beta : surjective \implies im \beta = N[/tex]
siden [tex]\forall n \in N, \exists m \in M[/tex]
[tex]\beta (m) = n[/tex]
Vi har da [tex]im\beta = N = \ker(zeromorphism)[/tex]

CharlieEppes wrote: [<=]
[tex]\beta : surjective \implies im \beta = N[/tex]
siden [tex]\forall n \in N, \exists m \in M[/tex]
[tex]\beta (m) = n[/tex]
Vi har da [tex]im\beta = N = \ker(zeromorphism)[/tex]

Her er det opplagt at hvis $\alpha: N\to 0$, så er $\ker(\alpha)=N$. Alle elementer i $N$ må jo avbildes til $0$. Hvis $\beta$ er surjektiv, så er $im (\beta)=N$, og da er $\ker(\alpha)=im(\beta)$, så følgen er eksakt.

Så det var riktig det jeg hadde gjort? (mer eller mindre)

Jo da, det er ikke feil, men disse to linjene under er vel litt overflødige, og tilfører ikke noe spesielt til beviset

CharlieEppes wrote:
siden [tex]\forall n \in N, \exists m \in M[/tex]
[tex]\beta (m) = n[/tex]

var vell bare for å vise at når beta er på
medfølger at bilde av beta er hele N, kunne selvfølgelig droppet det