Page 1 of 1
Split exact sequences
Posted: 17/11-2016 20:23
by CharlieEppes
Give two short exact sequences of modules, which are not split exact. Explain why these sequences are not split exact.
Lurer på om det er en lett måte å konstruere en slik en, eller om man bare må finne en s.e.s. også teste om den er split exact frem til man finner en som er(eller ikke er split exact)?
Re: Split exact sequences
Posted: 17/11-2016 21:06
by Kake med tau
Hint: [tex]\mathbb{Z}_n\oplus \mathbb{Z}_m\cong \mathbb{Z}_{mn}\iff \gcd(m,n)=1[/tex]
Tørr ikke uttale meg om den finnes generelle metoder for å konstruere en. (edit: Metoden i hintet er kan brukes til å generere uendelig mange eksakte følger som ikke er splitt-eksakte, men tror ikke den dekker alle mulige tilfeller)
Re: Split exact sequences
Posted: 17/11-2016 21:21
by CharlieEppes
Fikk med meg fra en forelesning at denne ikke var split exact, men forstår ikke hvordan man kan vise til det.
[tex]0\rightarrow \mathbb{Z} \overset{\alpha}{\rightarrow}\mathbb{Z} \overset{\beta}{\rightarrow} \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}} \rightarrow 0[/tex]
Fra Prop-Def(Miles Reid; undergrad. commalg. side 45:
[tex]\mathbb{Z} \ncong \mathbb{Z} \oplus \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}[/tex]
for at den ikke skal være split exact, men klarer ikke vise dette..
Kake med tau wrote:Hint: [tex]\mathbb{Z}_n\oplus \mathbb{Z}_m\cong \mathbb{Z}_{mn}\iff \gcd(m,n)=1[/tex]
må vi da ha gcd ikke lik 1?
Re: Split exact sequences
Posted: 17/11-2016 21:23
by Kake med tau
CharlieEppes wrote:
må vi da ha gcd ikke lik 1?
Akkurat! Du kan f. eks prøve med [tex]0\rightarrow \mathbb{Z}_2\overset{\cdot 4}{\rightarrow} \mathbb{Z}_8\rightarrow \mathbb{Z}_4\rightarrow 0[/tex], og da siden [tex]\gcd(2,4)\neq 1[/tex] så er [tex]\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_4\ncong\mathbb{Z}_8[/tex]
Re: Split exact sequences
Posted: 17/11-2016 21:26
by Gustav
CharlieEppes wrote:
[tex]\mathbb{Z} \ncong \mathbb{Z} \oplus \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}[/tex]
$\mathbb{Z} \oplus \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}$ har et element av orden 2, nemlig (0,1), mens $Z$ ikke har det. Derfor er de ikke isomorfe.
$0\to Z_n\to Z_{nm}\to Z_m\to 0$
$\alpha: Z_n\to Z_{nm}$ gitt ved $\alpha(k)=mk \mod(nm)$
$\beta:Z_{nm}\to Z_m$ gitt ved $\beta(k)=k\mod (m)$
$im(\alpha) = ker(\beta) = \{0,m,2m,...,m(n-1)\}$,
så følgen er eksakt for alle positive heltall $n,m$. Den er i tillegg splitt hviss $gcd(n,m)=1$.
Re: Split exact sequences
Posted: 17/11-2016 21:36
by CharlieEppes
Orden for et element i en gruppe er slik at:
ord a = n , a^n = e.?
og i Z har vi ingen slike av orden 2,
a+a =/= 0 i Z, men (0,1) + (0,1) = (0,0)
hvis jeg husker rett?
Edit: bortsett fra e selv da i Z
Re: Split exact sequences
Posted: 17/11-2016 21:47
by CharlieEppes
så for å svare på oppgaven i starten:
[tex]0 \rightarrow \mathbb{Z}_{m} \overset{\alpha}{\rightarrow} \mathbb{Z}_{mn} \overset{\beta}{\rightarrow} \mathbb{Z}_{n} \rightarrow 0[/tex]
så velger vi bare m,n slik at [tex]gcd(m,n) \neq 1[/tex]
ex. m=3,n=9
eller
m=2,n=20, da har vi:
[tex]0 \rightarrow \mathbb{Z}_{2} \overset{\alpha}{\rightarrow} \mathbb{Z}_{40} \overset{\beta}{\rightarrow} \mathbb{Z}_{20} \rightarrow 0[/tex]
s.e.s. men ikke split exact?
Re: Split exact sequences
Posted: 17/11-2016 21:48
by Kake med tau
CharlieEppes wrote:Orden for et element i en gruppe er slik at:
ord a = n , a^n = e.?
og i Z har vi ingen slike av orden 2,
a+a =/= 0 i Z, men (0,1) + (0,1) = (0,0)
hvis jeg husker rett?
Edit: bortsett fra e selv da i Z
Stemmer, og du kan også se at de ikke er isomorfe ved å se at [tex]\frac{\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}_2}{((0,1))}\cong\mathbb{Z}[/tex], og [tex]((0,1))\neq ((0,0))[/tex]
Re: Split exact sequences
Posted: 17/11-2016 21:50
by Kake med tau
CharlieEppes wrote:så for å svare på oppgaven i starten:
m=2,n=20, da har vi:
[tex]0 \rightarrow \mathbb{Z}_{2} \overset{\alpha}{\rightarrow} \mathbb{Z}_{40} \overset{\beta}{\rightarrow} \mathbb{Z}_{20} \rightarrow 0[/tex]
s.e.s. men ikke split exact?
Jepp!
Re: Split exact sequences
Posted: 17/11-2016 22:01
by CharlieEppes
Let
[tex]0 \rightarrow L \overset{\alpha}{\rightarrow} M \overset{\beta}{\rightarrow} N \rightarrow 0[/tex]
be a s.e.s. of A-modules. Then 3 equivalent conditions:
i) there exists an isomorphism [tex]M \cong L \oplus N[/tex] under which [tex]\alpha[/tex] is given
by [tex]m \mapsto (m,0)[/tex] and [tex]\beta[/tex] by [tex](m,n) \mapsto n[/tex];
ii) there exists a section of [tex]\beta[/tex], that is, a map [tex]s : N \rightarrow M[/tex] such that
[tex]\beta \circ s = id_{N}[/tex];
iii) there exists a retraction of [tex]\alpha[/tex], that is, a map [tex]r : M \rightarrow L[/tex] such that
[tex]r \circ \alpha = id_{L}[/tex]
Noen som kan utdype 2 og 3, jeg forstår ikke helt hva de sier. evt. relatere de til et praktisk eksempel?
Re: Split exact sequences
Posted: 17/11-2016 22:44
by Gustav
CharlieEppes wrote:Let
[tex]0 \rightarrow L \overset{\alpha}{\rightarrow} M \overset{\beta}{\rightarrow} N \rightarrow 0[/tex]
be a s.e.s. of A-modules. Then 3 equivalent conditions:
i) there exists an isomorphism [tex]M \cong L \oplus N[/tex] under which [tex]\alpha[/tex] is given
by [tex]m \mapsto (m,0)[/tex] and [tex]\beta[/tex] by [tex](m,n) \mapsto n[/tex];
ii) there exists a section of [tex]\beta[/tex], that is, a map [tex]s : N \rightarrow M[/tex] such that
[tex]\beta \circ s = id_{N}[/tex];
iii) there exists a retraction of [tex]\alpha[/tex], that is, a map [tex]r : M \rightarrow L[/tex] such that
[tex]r \circ \alpha = id_{L}[/tex]
Noen som kan utdype 2 og 3, jeg forstår ikke helt hva de sier. evt. relatere de til et praktisk eksempel?
La som i de tidligere innleggene, $M=Z_{mn}$.
Hvis gcd(m,n)=1 så er $Z_{mn}\cong Z_m\times Z_n$, så det betyr bare at i følgen
$0\to Z_m\to Z_{m}\times Z_n \to Z_n\to 0$, så vil
$\alpha:Z_m\to Z_m \times Z_n$ være gitt ved $\alpha(m)=(m,0)$, og
$\beta:Z_m\times Z_n \to Z_n$ være gitt ved $\beta(m,n)=n$
Da kan vi definere
$s: Z_n\to Z_m\times Z_n$ ved at $s(n)=(0,n)$ og
$r:Z_m\times Z_n \to Z_m$ gitt ved at $r(m,n)=m$
slik at $\beta\circ s = id_{Z_n}$ og $r\circ \alpha = id_{Z_m}$
Re: Split exact sequences
Posted: 17/11-2016 22:51
by CharlieEppes
a-ha, tror jeg bare ble satt ut av
section og
retraction og tenkte at dette var litt mer spesielt

takk for hjelp

Re: Split exact sequences
Posted: 17/11-2016 23:03
by Gustav
CharlieEppes wrote:a-ha, tror jeg bare ble satt ut av
section og
retraction og tenkte at dette var litt mer spesielt

takk for hjelp

Flott, jeg burde vel kanskje brukt $\oplus$ istedet for det kartesiske produktet, men her blir det jo akkurat det samme.
Re: Split exact sequences
Posted: 18/11-2016 13:18
by CharlieEppes
plutarco wrote:CharlieEppes wrote:a-ha, tror jeg bare ble satt ut av
section og
retraction og tenkte at dette var litt mer spesielt

takk for hjelp

Flott, jeg burde vel kanskje brukt $\oplus$ istedet for det kartesiske produktet, men her blir det jo akkurat det samme.
la ikke merke til det engang ^^