Hei!
Sitter og jobber litt med en oppgave jeg ikke får helt til. Jeg føler jeg er nesten helt i mål, men ikke helt.
Oppgaven er som følger: Vis at rekken konvergerer for alle $x$, og beregn summen:
[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n-1)!}x^n[/tex]
Å vise at rekken konvergerer overalt er en smal sak med forholdstesten, så det er ikke noe problem. Å finne summen synes jeg derimot er litt verre. Her er det jeg har tenkt så langt:
[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n-1)!}x^n \\ = \sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{n!}x^{n+1} \\ =\sum_{n=0}^\infty \frac{nx^{n+1}}{n!}+\frac{x^{n+1}}{n!} \\ =x(\sum_{n=0}^\infty \frac{nx^n}{n!}+\frac{x^n}{n!})[/tex]
Her er det andre leddet blitt til den kjente summen $\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} = e^x$, så den er grei. Men hva jeg skal gjøre videre med $\sum_{n=0}^\infty \frac{nx^n}{n!}$ synes jeg ikke er like opplagt. Noen tips?
Summen av uendelig rekke
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
I god tradisjon får man det til like etter at man har skrevet innlegg på det, selv om man har sittet med det noen dager i forveien 
[tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{nx^n}{n!} \\ =\sum_{n=1}^\infty \frac{nx^n}{n!} \\ =\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{(n-1)!} \\ =\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1}}{n!} \\ =x\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \\ =xe^x[/tex]
[tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{nx^n}{n!} \\ =\sum_{n=1}^\infty \frac{nx^n}{n!} \\ =\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{(n-1)!} \\ =\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1}}{n!} \\ =x\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \\ =xe^x[/tex]