Hom(A,I) og Hom(I,A)

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
CharlieEppes
Cantor
Cantor
Posts: 141
Joined: 01/10-2014 17:26

Let I = (x, y) be the ideal in k[x, y]. What is Hom[tex]_{A}[/tex](I, A)? What is Hom[tex]_{A}[/tex](A, I)?
Antar [tex]A = k[x,y][/tex]
[tex]I) \ Hom_{A}(A,I)[/tex]
[tex]II) \ Hom_{A}(I,A)[/tex]

For I :
[tex]A \rightarrow I[/tex]
[tex]1 \mapsto i[/tex] [tex]=>[/tex] [tex]Hom_{A}(A,I) \cong I \longrightarrow Hom_{A}(A,M) \cong M[/tex]
[tex]a \mapsto ai[/tex]

Er denne her jeg ikke helt klarer, ser ikke hva som kan gjøres:
For II :
[tex]I \rightarrow A[/tex]
[tex]x \mapsto xb[/tex]
[tex]y \mapsto yb[/tex]
Så var det stop, klarer ikke helt komme videre fra her..
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
Top
Kake med tau
Dirichlet
Dirichlet
Posts: 160
Joined: 05/02-2013 14:12
Location: Fetsund

La oss se på [tex]\phi:I\rightarrow A[/tex], og la:
[tex]\begin{matrix} x \mapsto a_1 \\ y \mapsto a_2 \end{matrix}[/tex]

Så ser vi om vi kan finne noen betingelser for [tex]a_1[/tex] og [tex]a_2[/tex]. Vi vet alle homomorfier må oppfylle [tex]\phi(0_I)=0_A[/tex], så la oss se hva dette betyr:
Vi starter med [tex]0_I=c_1x+c_2y \mapsto a_1c_1+a_2c_2 = 0_A[/tex], du har regnet ut
[tex]Ker(\phi)[/tex] så vi må ha:

[tex]\begin{matrix} c_1=fy\mid f\in A\\c_2=-fx\mid f\in A \end{matrix}[/tex]

Setter vi inn denne informasjonen får vi [tex]a_1fx=a_2fy[/tex], dette er et integraldomene så vi kan dele på [tex]f[/tex] og vi får: [tex]a_1y=a_2x[/tex]

Hva kan vi si om [tex]a_1[/tex] og [tex]a_2[/tex] hvis dette skal stemme? (Har du bestemt [tex]a_1[/tex] og [tex]a_2[/tex] har du bestemt hele [tex]\phi[/tex])
Last edited by Kake med tau on 18/11-2016 18:07, edited 1 time in total.
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford
Top
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

Her kan vi eventuelt bruke følgende teorem:

Dersom $A$ er et heltallsdomene, og $I$ en A-modul (ulik null) så er $Hom_A(I,A)$ isomorf med $\{k\in Quot(A)| kI\subset A\}$

Teorem 2.7, med bevis, her http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blur ... ualmod.pdf
Top
CharlieEppes
Cantor
Cantor
Posts: 141
Joined: 01/10-2014 17:26

Kake med tau wrote:
Hva kan vi si om [tex]a_1[/tex] og [tex]a_2[/tex] hvis dette skal stemme? (Har du bestemt [tex]a_1[/tex] og [tex]a_2[/tex] har du bestemt hele [tex]\phi[/tex])
[tex]a_{1} = bx , a_{2} = by[/tex] ?
får vi da at [tex]Hom_{A}(I,A) \cong A[/tex] siden elementer i A bestemmer [tex]\phi[/tex]?
plutarco wrote:Her kan vi eventuelt bruke følgende teorem:
Dersom $A$ er et heltallsdomene, og $I$ en A-modul (ulik null) så er $Hom_A(I,A)$ isomorf med $\{k\in Quot(A)| kI\subset A\}$

dette stemmer vell med dette også siden $\{k \in quot(A) | kI \subset A\}$ er $A$ eller?
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
Top
Kake med tau
Dirichlet
Dirichlet
Posts: 160
Joined: 05/02-2013 14:12
Location: Fetsund

CharlieEppes wrote:
Kake med tau wrote:
Hva kan vi si om [tex]a_1[/tex] og [tex]a_2[/tex] hvis dette skal stemme? (Har du bestemt [tex]a_1[/tex] og [tex]a_2[/tex] har du bestemt hele [tex]\phi[/tex])
[tex]a_{1} = bx , a_{2} = by[/tex] ?
får vi da at [tex]Hom_{A}(I,A) \cong A[/tex] siden elementer i A bestemmer [tex]\phi[/tex]?
Jepp! [tex]b\in A[/tex], så hele homomorfien avhenger av [tex]b[/tex].
Så hvis du skal vise at [tex]Hom(I, A)\cong A[/tex] kan du lage:

[tex]\chi:Hom(I, A)\rightarrow A[/tex]
slik at [tex]\phi_b \mapsto b \in A[/tex], hvor [tex]\phi_b=\left\{\begin{matrix} x\mapsto bx\\y\mapsto by \end{matrix}\right.[/tex] er en homomorfi [tex]\in Hom(I, A)[/tex]
  • Surjektivitet av [tex]\chi[/tex]:
    Hvis du har [tex]a\in A[/tex] så kan du lage [tex]\phi_a[/tex], så dette er greit!
  • Injektivitet av [tex]\chi[/tex]:
    Hvis [tex]\chi(\phi_a)=\chi(\phi_b)[/tex] så er [tex]a=b[/tex]
Så det er en isomorfi!
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford
Top
CharlieEppes
Cantor
Cantor
Posts: 141
Joined: 01/10-2014 17:26

Kake med tau wrote: Jepp! [tex]b\in A[/tex], så hele homomorfien avhenger av [tex]b[/tex].
Så hvis du skal vise at [tex]Hom(I, A)\cong A[/tex] kan du lage:

[tex]\chi:Hom(I, A)\rightarrow A[/tex]
slik at [tex]\phi_b \mapsto b \in A[/tex], hvor [tex]\phi_b=\left\{\begin{matrix} x\mapsto bx\\y\mapsto by \end{matrix}\right.[/tex] er en homomorfi [tex]\in Hom(I, A)[/tex]
  • Surjektivitet av [tex]\chi[/tex]:
    Hvis du har [tex]a\in A[/tex] så kan du lage [tex]\phi_a[/tex], så dette er greit!
  • Injektivitet av [tex]\chi[/tex]:
    Hvis [tex]\chi(\phi_a)=\chi(\phi_b)[/tex] så er [tex]a=b[/tex]
Så det er en isomorfi!
kanon :) :)
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
Top
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

Kake med tau wrote: Vi starter med [tex]0_I=c_1x+c_2y \mapsto a_1c_1x+a_2c_2y = 0_A[/tex],
Her mener du vel
[tex]0_I=c_1x+c_2y \mapsto a_1c_1+a_2c_2 = 0_A[/tex]?
Top
Kake med tau
Dirichlet
Dirichlet
Posts: 160
Joined: 05/02-2013 14:12
Location: Fetsund

plutarco wrote:
Kake med tau wrote: Vi starter med [tex]0_I=c_1x+c_2y \mapsto a_1c_1x+a_2c_2y = 0_A[/tex],
Her mener du vel
[tex]0_I=c_1x+c_2y \mapsto a_1c_1+a_2c_2 = 0_A[/tex]?
Ops, mener det ja! Takk, takk
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford
Top
Post Reply

Return to “Høyskole og universitet”