Lineær algebra

[titaniumman]

Jeg øver til eksamen i Analyse og lineær algebra, og sitter fast på 2 oppgaver. Håper noen kan hjelpe til!

Her er oppgavene:

opg5-6.jpg (400.19 KiB) Viewed 4479 times

5 a) Har jeg løst: Matrisen A er diagonaliserbar fordi den er symetrisk
5 b) Her har jeg satt $det(A-\mathrm{\Lambda }I)=0$ og funnet tre verdier for lambda: $\mathrm{\Lambda }{}_1=1$ , $\mathrm{\Lambda }{}_2=7$ og $\mathrm{\Lambda }{}_3=13$
. Jeg vet ikke hvordan jeg går videre.

På oppgave 5 c) og 6 er jeg blank.

Hadde satt stor pris på om noen kan hjelpe meg!

[titaniumman]

Noen som kan forklare?

[sbra]

5 b) Symmetriske matriser $A$ kan skrives på formen $P\mathrm{\Lambda }{P}^T$, der $\mathrm{\Lambda }$ er en diagonal matrise med egenverdiene til $A$ langs diagonalen, og $P$ er en ortogonal matrise som har egenvektorene til $A$ som kolonner. Plasseringen av kolonnene må samsvare med den korresponderende egenverdien i $\mathrm{\Lambda }$. Du har funnet egenverdiene. Da gjenstår det bare å finne egenvektorene.

5 c) Denne er ganske rett frem hvis du vet hvordan du finner den adjungerte matrisen $adj(A)$, og determinanten $|A|$. Vet du hvordan du finner disse?

6) Alle kvadratiske former kan skrives på formen $x^{T}Ax$, der $A$ er en symmetrisk matrise. I dette tilfellet kan den skrives på formen $\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-1& \frac{a}{2}& 0\\ \frac{a}{2}& -2& 0\\ 0& 0& b\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]$

Den kvadratiske formen er negativ definitt dersom alle egenverdiene til matrisen A er negative.

Egenverdiene kan finnes fra den karakteristiske ligningen:
$(b-\lambda )((-1-\lambda )(-2-\lambda )-\frac{a^2}{4})=0$

Her ser vi med en gang at en egenverdi er lik b. Vi ser derfor at b må være negativ.

Når det gjelder a ser vi at
$(-1-\lambda )(-2-\lambda )-\frac{a^2}{4}=0$, som kan skrives om til ${\lambda }^2+3\lambda +\frac{1}{4}(8-a^2)=0$.

abc-formelen gir da $\lambda =-\frac{3}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{a^2+1}$

Vi ser at den ene egenverdien alltid vil være negativ, og at den siste vil være negativ dersom $\frac{1}{2}\sqrt{a^2+1}<\frac{3}{2}$, som gir at $a^2<8$.

[titaniumman]

Tusen takk for svar!

Et spørsmål til: hvordan kom du frem til den symmetriske matrisen i oppg. 6?

[sbra]

Kvadratiske former kan skrives slik: $Q(\mathbf{\text{x}})=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$, der $\{a_{ij}\}$ er elementene til $A$ for posisjon (i,j).
Jeg fant dermed elementene ved direkte sammenligning, og ved å huske på at matrisen må være symmetrisk. Man må derfor ha to elementer som er $\frac{a}{2}$

[titaniumman]

Kvadratiske former kan skrives slik: $Q(\mathbf{\text{x}})=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$, der $\{a_{ij}\}$ er elementene til $A$ for posisjon (i,j).
Jeg fant dermed elementene ved direkte sammenligning, og ved å huske på at matrisen må være symmetrisk. Man må derfor ha to elementer som er $\frac{a}{2}$

Nå forstår jeg, igjen mange takk!

[titaniumman]

Her ser vi med en gang at en egenverdi er lik b. Vi ser derfor at b må være negativ.

Et spørsmål til. Jeg ser at en egenverdi er lik b, men hvorfor må da b være negativ?

[sbra]

Fordi alle egenverdiene må være negative for at den kvadratiske formen skal være negativ definitt.