Modulfiltrering

[Kake med tau]

Hei, jeg kom over dette teoremet:

La $R$ være en Noethersk ring, og $M$ en endelig generert $R$-modul. Da finnes det en filtrering

$(0)\subset M_1\subset \cdots \subset M_n=M$

Slik at $\frac{M_i}{M_{i-1}}\cong \frac{R}{P_i}$ for primideal $P_i$.

Jeg prøvde med $(0)\subset (x)\subset (x,y)\subset k[x,y]=R=M$
men $\frac{(x,y)}{(x)}$ kan ikke være på formen $\frac{R}{P}$, siden $1\notin \frac{(x,y)}{(x)}$. Hva er det jeg gjør feil?

[Brahmagupta]

Du må se på $R/\mathfrak{p}$ som modul, ikke som ring. Eksempelvis for $R=k[x,y]$
er $R\cong (x)$ som $R$-moduler, ved homomorfien $r\mapsto rx$. For idealene du nevner
har vi
$$(x,y)/(x)\cong (y)/(xy)\cong k[x,y]/(x).$$

Merk forøvrig at resultater sier kun at det finnes en filtrasjon med den nevnte egenskapen, ikke at enhver
filtrasjon har den.

[Kake med tau]

Du må se på $R/\mathfrak{p}$ som modul, ikke som ring. Eksempelvis for $R=k[x,y]$
er $R\cong (x)$ som $R$-moduler, ved homomorfien $r\mapsto rx$. For idealene du nevner
har vi
$$(x,y)/(x)\cong (y)/(xy)\cong k[x,y]/(x).$$

Merk forøvrig at resultater sier kun at det finnes en filtrasjon med den nevnte egenskapen, ikke at enhver
filtrasjon har den.

Ok, tusen takk!