Nivåkurve til en funksjon

[Fredrik_256]

Hei

Jeg sliter med å finne nullpunktene i denne funksjonen
F(x,y)= x^3 -x*y +2x

Har dere noe tips og hint til hvordan jeg burde gå fram

[Aleks855]

$x=0$ står frem som en åpenbar rot i og med at alle leddene har $x$.

Løser vi $F(x,y) = 0$ for $y$ får vi $y = x^2+2$ så det vil være resten av røttene.

[Fredrik_256]

$x=0$ står frem som en åpenbar rot i og med at alle leddene har $x$.

Løser vi $F(x,y) = 0$ for $y$ får vi $y = x^2+2$ så det vil være resten av røttene.

Beklager. Jeg ser at funksjonen min er skrevet feil.
Det skulle ha vært: F(x,y)= x^3- xy + y^2

[Aleks855]

Ok, og hva har du tenkt/prøvd? Ser du noen åpenbare røtter?

[Fredrik_256]

Har forsøkt å isolere x og y for seg selv, men havner i en vanskeligere situasjon når jeg gjør det.

Eksempelvis når jeg tar: y^2=xy-x^3
y^2=y(x-x^3/y)
y=x-x^3/y

- Må ha misforstått på en del ting her

[Aleks855]

Vel, i første omgang ser vi at $x=y=0$ gir et klart nullpunkt, siden funksjonen ikke har konstantledd.

Og ja, det kan bli litt knotete å isolere x og y, men fra $$x^3-xy+y^2 = 0$$ hvis vi omformer til $$y^2 - xy = -x^3$$ så kan vi fullføre kvadratet og får $$\frac{x^2}{4} -xy + y^2 = \underline{ \left(y-\frac x2\right)^2 = -\frac14x^2(4x-1) }$$

Løser du opp eksponenten på venstre side, og flytter over $\frac x2$ så er $x$ og $y$ separert, så det skal la seg gjøre å løse for $y$.

[DennisChristensen]

Beklager. Jeg ser at funksjonen min er skrevet feil.
Det skulle ha vært: F(x,y)= x^3- xy + y^2

Vi har et annengradsuttrykk i $y$, så bruker $ABC$-formelen og får at
$$y = \frac{x \pm \sqrt{x^2 - 4x^3}}{2} = \frac{x \pm x\sqrt{1 - 4x}}{2}.$$
Vi krever at $y$ er definert, så vi krever at $1 - 4x \geq 0$, altså at $x \leq \frac14$.
Dermed tar alle nullpunktene til $F$ formen $\left(t,\frac12t\left(1\pm\sqrt{1-4t}\right)\right)$ der $t \in (-\infty, \frac14]$.