Kompleks tall på tangent

[Guest]

Hei,
Kunne noen please vise hvordan man løser denne her?

Oppgave 35 f)
De komplekse tallene har avstand 1 til origo, på enhetssirkelen i det komplekse planet.
Anta at $z$ ligger på enhetssirkelen. Vis at et komplekst tall $w$ ligger på tangenten til enhetssirkelen gjennom $z$ hvis og bare hvis $w+z^2\cdot \overline{w}=2z$

Tusen takk

[Gustav]

$w$ ligger på tangenten til enhetssirkelen gjennom $z$ $\iff$ det komplekse prikkproduktet $z\circ (w-z)=0$. Dette er igjen ekvivalent med

$z\circ w=z\circ z$. (fra lineariteten til prikkproduktet)

$\frac{\overline{z}w+z\overline{w}}{2}=z\overline{z}$ (definisjon 4 av prikkproduktet her https://proofwiki.org/wiki/Definition:D ... ex_Numbers)

$\overline{z}w+z\overline{w}=2z\overline{z}$. Gang med $z$ og bruk at $z\overline{z}=1$:

$w+z^2\overline{w}=2z$.

Edit: Ryddet opp

[Guest]

hei,
takk for svar, men finnes det ikke en kortere "vis at det er sant"?

[Guest]

Jeg skjønner ikke dette her, kunne vær så snill noen vise:

Oppgave 25k)
Enhetssirkelen består av komplekse tall slik at |z|=1. Vis at et komplekst tall $w$ ligger på tangenten til enhetssirkelen gjennom $z$ hvis og bare hvis $w=z(1+it)$ for et reelt tall $t$

[Aleks855]

Litt off-topic, men hvilken bok er disse oppgavene fra? Det er ganske fine oppgaver.

[Gustav]

Oppgave 25k)
Enhetssirkelen består av komplekse tall slik at |z|=1. Vis at et komplekst tall $w$ ligger på tangenten til enhetssirkelen gjennom $z$ hvis og bare hvis $w=z(1+it)$ for et reelt tall $t$

Du kan betrakte $1+it$ som en parametrisering (med parameter $t$) av linjen parallell med den imaginære aksen, som går gjennom 1.

Det som skjer når du multipliserer med $z=e^{i\theta }$ er at du roterer om origo med en vinkel $\theta$. Derfor vil $z(1+it)$ kunne tolkes som en parametrisering av tangenten til enhetssirkelen gjennom punktet $z$.

[Guest]

Aha, ting blir så mye klarere ved geometrisk forklaring

... men er ikke dette ekvivalent med $w+z^2\overline{w}=2z$? Hvis ja, hvordan kan vi vise det?

[hco96]

Litt off-topic, men hvilken bok er disse oppgavene fra? Det er ganske fine oppgaver.

Det er oblig1 i Mat1100 Kalkulus på UiO, kan godt hende de er tatt fra en bok,
men jeg regner med at alle oppgavene på forumet er pga. obligen

"http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... oblig1.pdf"

[tyuiop]

Noen som kan forklare hvordan du kommer fra zw=zz til
z¯w+zw¯/2=zz¯ ?

[Kake med tau]

Noen som kan forklare hvordan du kommer fra zw=zz til
z¯w+zw¯/2=zz¯ ?

$z\circ w=z\circ z$

$\overline{z}\circ z\circ w=\overline{z}\circ z\circ z$

$|z{|}^{2}w=|z{|}^{2}z$

$\Rightarrow w=z\Rightarrow \overline{z}=\overline{w}$

$\Rightarrow \overline{z}z=|z{|}^2=\frac{|z{|}^2+|z{|}^2}{2}=\frac{\overline{z}z+z\overline{z}}{2}=\frac{\overline{z}w+z\overline{w}}{2}$

[Guest]

kake med tau, latter krampe her

[Guest]

$w$ ligger på tangenten til enhetssirkelen gjennom $z$ $\iff$ det komplekse prikkproduktet $z\circ (w-z)=0$. Dette er igjen ekvivalent med

$z\circ w=z\circ z$.

$\frac{\overline{z}w+z\overline{w}}{2}=z\overline{z}$

$\overline{z}w+z\overline{w}=2z\overline{z}$. Gang med $z$ og bruk at $z\overline{z}=1$:

$w+z^2\overline{w}=2z$.

Edit: Ryddet opp

Hvorfor er "$w$ ligger på tangenten til enhetssirkelen gjennom $z$" ekvivalent med at det komplekse prikkproduktet $z\circ (w-z)=0$?

[erikalexander]

$w$ ligger på tangenten til enhetssirkelen gjennom $z$ $\iff$ det komplekse prikkproduktet $z\circ (w-z)=0$. Dette er igjen ekvivalent med

$z\circ w=z\circ z$.

$\frac{\overline{z}w+z\overline{w}}{2}=z\overline{z}$

$\overline{z}w+z\overline{w}=2z\overline{z}$. Gang med $z$ og bruk at $z\overline{z}=1$:

$w+z^2\overline{w}=2z$.

Edit: Ryddet opp

Hvorfor er "$w$ ligger på tangenten til enhetssirkelen gjennom $z$" ekvivalent med at det komplekse prikkproduktet $z\circ (w-z)=0$?

Vis du tegner en figur så ser du at z og (w-z) står vinkelrett på hverandre, og da er prikkproduktet null

[erikalexander]

Noen som kan forklare hvordan du kommer fra zw=zz til
z¯w+zw¯/2=zz¯ ?

$z\circ w=z\circ z$

$\overline{z}\circ z\circ w=\overline{z}\circ z\circ z$

$|z{|}^{2}w=|z{|}^{2}z$

$\Rightarrow w=z\Rightarrow \overline{z}=\overline{w}$

$\Rightarrow \overline{z}z=|z{|}^2=\frac{|z{|}^2+|z{|}^2}{2}=\frac{\overline{z}z+z\overline{z}}{2}=\frac{\overline{z}w+z\overline{w}}{2}$

Sånn rent algebraisk så har jeg ikke noe å protestere på, men det går noen alarmer når jeg ser på geometrien .. Z og W er jo slettest ikke det samme, bortsett fra ved ett tilfelle, når t = 0 .. Noen som er god på å kurere forvirrelse her?

[Emilga]

Forvirringen ligger i at uttrykket $\overline{z}\circ z\circ w$, der $\circ$ er prikkprodukt, ikke er veldefinert.

Dvs. at vi generelt får to forskjellige svar alt ettersom vi regner ut $(\overline{z}\circ z)\circ w$ eller $\overline{z}\circ (z\circ w)$.

Derfor blir overgangen fra linje to til linje tre ugyldig. (Se også min kommentar til Plutarco under.)

Dette kan vi enkelt sjekke.

Minner om definisjonen til prikkprodukt:

La $u=u_x+i\cdot u_y$ og $v=v_x+i\cdot v_y$.

Da er $u\circ v:=\overline{u}\cdot v=u_x\cdot v_x+u_y\cdot v_y$

Regner ut: $(\overline{z}\circ z)\circ w=(z_x^2-z_y^2)\circ w=(z_x^2-z_y^2)\cdot w_x+0\cdot w_y=(z_x^2-z_y^2)\cdot w_x=z_x^2\cdot w_x-z_y^2\cdot w_x$.

Regner også ut: $\overline{z}\circ (z\circ w)=\overline{z}\circ (z_x\cdot w_x+z_y\cdot w_y)=z_x\cdot (z_x\cdot w_x+z_y\cdot w_y)=z_x^2\cdot w_x+z_x\cdot z_y\cdot w_y$.

Disse er ikke like. Altså kan vi ikke skrive $\overline{z}\circ z\circ w=|z{|}^{2}w$, slik venstre side i overgangen fra linje to til tre legger til grunn.

Det vi derimot kan gjøre, er som følger.

Vi skriver: $z\circ w=\overline{z}\cdot w=z_x{w}_x+z_y{w}_y$.

Og siden høyresiden er reell, så kan vi komplekskonjugere uten å endre verdi:
$z\circ w=\overline{\overline{z}}\cdot \overline{w}=z\cdot \overline{w}=\overline{z_x}\cdot \overline{w_x}+\overline{z_y}\cdot \overline{w_y}=z_x{w}_x+z_y{w}_y$.

Og nå har vi to måter å skrive $z\circ w$ på: (1) $z\circ w=\overline{z}\cdot w$, og (2) $z\circ w=z\cdot \overline{w}$.

Legger sammen (1) og (2):

$2z\circ w=\overline{z}\cdot w+z\cdot \overline{w}$

$z\circ w=\frac{\overline{z}\cdot w+z\cdot \overline{w}}{2}$

Som vi allerede vet skal være lik $z\circ z=\overline{z}\cdot z=z\cdot \overline{z}$.

Altså: $\frac{\overline{z}\cdot w+z\cdot \overline{w}}{2}=z\cdot \overline{z}$

Plutarco: Er det lov å skrive to prikkprodukter etter hverandre? Slik jeg har lært det, så tar prikkproduktet to vektorer som argument, og outputter en skalar. I utgangspunktet så er jo vektorer og skalarer to vidt forskjellige konsepter, og man kan dermed ikke prikke en vektor med en skalar, men i akkurat dette eksempelet så kan jo det reelle tallet tolkes som et komplekst tall, altså en vektor?