Grenseverdi

[erikalexander]

[tex]\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n}}[/tex]

Alt jeg har klart å oppnå er å omforme det til [tex]\frac{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}[/tex]

ved å gange med den "konjugerte" over og under brøkstreken. Men det nye uttrykket ser ikke så veldig brukbart ut det heller.
Så da er jeg helt tom for ideer. Hint? Tips?

[DennisChristensen]

[tex]\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n}}[/tex]

Alt jeg har klart å oppnå er å omforme det til [tex]\frac{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}[/tex]

ved å gange med den "konjugerte" over og under brøkstreken. Men det nye uttrykket ser ikke så veldig brukbart ut det heller.
Så da er jeg helt tom for ideer. Hint? Tips?

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n}} - \sqrt{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n}}{\sqrt{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n}\right)}{\frac{1}{\sqrt{n}}\sqrt{n}} = \lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}} + 1\right) = \sqrt{1} + 1 = 2.$$