delbrøkoppspaltning

[snuff1]

Hei har et bestemt integral prøver å regne
Men hodet står litt stille da far akkurat er blitt borte, integralet er x+5/(x+1)(x+3) dx med intervall 0 til 1, 1 tallet står over integrasjon tegnet og 0 under, kunne noen være vennlig å vise meg hvordan denne gjøres litt detaljert med mellomregning, jeg takker veldig på forhånd

[DennisChristensen]

Hei har et bestemt integral prøver å regne
Men hodet står litt stille da far akkurat er blitt borte, integralet er x+5/(x+1)(x+3) dx med intervall 0 til 1, 1 tallet står over integrasjon tegnet og 0 under, kunne noen være vennlig å vise meg hvordan denne gjøres litt detaljert med mellomregning, jeg takker veldig på forhånd

Vi ønsker å finne $a,b\in\mathbb{R}$ slik at vi kan skrive $$\frac{x+5}{(x+1)(x+3)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+3}.$$ Multipliserer vi begge sider med $(x+1)(x+3)$ får vi at $$x+5 = a(x+3) + b(x+1).$$ Vi sammenlikner nå koeffisientene på høyre og venstre side og får likningene $$1 = a + b;$$ $$5 = 3a + b.$$ Løser vi disse for $a$ og $b$ får vi $a = 2$ og $b=-1$. Dermed: $$\int_0^1\frac{x+5}{(x+1)(x+3)} dx = \int_0^1\left(\frac{2}{x+1} - \frac{1}{x+3}\right)dx = 2\ln|x+1| - \ln|x+3| + C, C\in\mathbb{R}.$$