Basis - algebra 3

[Maxvell]

Er dette rett?
Hvilke av følgende vektorer er basis for P[sub]2[/sub]?
1) 1+x+x[sup]2[/sup]
2) x+x[sup]2[/sup]
3) x

Her tror jeg det er 1) og 2), 3) har ikke riktig grad.

1)-4 + x + 3x[sup]2[/sup]
2) 6 + 5x + 2x[sup]2[/sup]
3) 8 + 4x + x[sup]2[/sup]

Alle har rett grad ihvertfall..

[Solar Plexsus]

For det første er vektorrommet P[sub]2[/sub] av dimensjon 3. Så her skal du avgjøre om de tre vektorene i P[sub]2[/sub] utgjør en basis for P[sub]2[/sub]. M.a.o. må du finne ut om likningen

(1) a[sub]1[/sub](1 + x + x[sup]2[/sup]) + a[sub]2[/sub](x + x[sup]2[/sup]) + a[sub]3[/sub]x = 0

kun har løsningen a[sub]1[/sub]= a[sub]2[/sub]= a[sub]3[/sub] = 0. Nå er (1) ekvivalent med

a[sub]1[/sub] + (a[sub]1[/sub] + a[sub]2[/sub] + a[sub]3[/sub])x + (a[sub]1[/sub] + a[sub]2[/sub])x[sup]2[/sup] = 0

som gir likningssystemet

a[sub]1[/sub] = 0
a[sub]1[/sub] + a[sub]2[/sub] + a[sub]3[/sub] = 0
a[sub]1[/sub] + a[sub]2[/sub] = 0.

Dette homogene ligningssystemet har koeffisientmatrisen

1 ... 0 ... 0
1 ... 1 ... 1
1 ... 1 ... 0

som har determinant lik -1<>0. M.a.o. har likningssettet kun den trivielle løsningen a[sub]1[/sub]= a[sub]2[/sub]= a[sub]3[/sub] = 0. Så disse tre vektorene danner en basis for P[sub]2[/sub].


Gjør neste oppgaven på samme måte.

[Maxvell]

Åja, akkurat.
Nå skjønner jeg litt mer.
Men skal man ikke også sjekke at de spenner ut P[sub]2[/sub]?

[Solar Plexsus]

Du trenger ikke å sjekke om de tre vektorene utspenner P[sub]2[/sub]. Det skyldes følgende velkjente(?) teorem innen lineær algebra:

Hvis S={v[sub]1[/sub], v[sub]2[/sub], ..., v[sub]n[/sub]} er en mengde av n lineært uavhengige vektorer i et n-dimensjonalt vektorrom V, så er S en basis for V.