Nullrom

[Guest]

Hvordan finner jeg basisen til nullrommet for følgende matrise:

Code: Select all

 1 4 5 2
 2 1 3 0
-1 3 2 2

Vi har ikke vært gjennom det enda og jeg skjønner ikke hva boka gjør.

[Andrina]

La A være matrisen. Nullrommet til A består da alle vektorer x=[x1,x2,x3,x4] slik at Ax=0.

Du må altså løse likningssystemet Ax=0.
Dette kan du gjøre ved å rekkeredusere matrisen (bringe den på trappeform):

Trappeformen blir da slik:

1 4 5 2
0 -7 -7 -4
0 0 0 0

Her ser du at x3 og x4 er frie variabler.
Du får -7x2=7x3+4x4, altså x2=-x3-4/7x4
og
x1=-4x2-5x3-2x4=4x3+16/7x4-5x3-2x4=-x3+2/7x4

Det betyr at
Nullrommet til A =
{[-x3+2/7x4, -x3-4/7x4, x3, x4] | x3 og x4 skalarer (i R eller C alt ettersom hvor du jobber)}

={[-1, -1, 1, 0]*x3+[2/7, -4/7, 0, 1]*x4 | x3 og x4 skalarer}

={[-1, -1, 1, 0]*s+[2, -4, 0, 7]*t | s og t skalarer}

Du får dermed at vektorene [-1, -1, 1, 0] og [2, -4, 0, 7] danner en basis for nullrommet til A.

[Guest]

Tusen takk, setter veldig mye pris på å få hjelp.

Men hvordan kan man kontrollere at de vektorene gir rett svar?
Jeg vet ikke helt om jeg skjønner hvordan du kan få verdier for x1 og x2 i de to vektorene når du bare har x3 og x4 verdier.

[Andrina]

Du kan sjekke at de to vektorene danner en basis for nullrommet på følgende måte:

1) Av1=0, Av2=0, hvis de to vektorer er v1 og v2.
Dette betyr at de faktisk ligger i nullrommet.

2) v1 og v2 er lineært uavhengige. Siden vi har to frie variabler er dimensjonen til nullrommet=2. Dermed er det nok å vise at de to vektorene er lineært uavhengige for å vise at de danner en basis.

Poenget her er at du kan velge x3 og x4 fritt. Så gir likningssystemet deg verdier for x1 og x2.